高一数学高一数学函数综合复习函数综合复习人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容函数综合复习 二 重点 本节重点综合复习函数的概念和性质 培养学生分析和解决数学问题的能力 例题讲解例题讲解 例 1 设 是奇函数 Ra 12 22 x x aa xf 1 求的值 a 2 判断的单调性并用定义加以证明 xf 3 当时 解关于的不等式0 kx k x xf 1 log 2 1 解 解 1 由为奇函数 且 xf 12 22 x x aa xf 12 2 x a 故 即 xfxf 12 2 12 2 xx aa 则 12 2 12 2 2 1 xx a1 12 1 21 2 xx x 此外 由 则0 0 f0 11 21 aa 1 a 2 由 故可知为增函数 下用定义加以证明 12 2 1 x xf xf 设 且 1 xRx 221 xx 12 2 1 12 2 1 12 12 xx xfxf0 12 12 22 2 12 12 xx xx 故为增函数 xf 3 先求的定义域即的值域 由 知 则 1 xf xf02 x 2 21 2 0 x 即值域为 再求的表达式 令 1 12 2 11 x xf 1 1 1 xf 12 2 1 x y 则 故 把 互换 得 y y x 1 1 2 y y x 1 1 log2xy x x y 1 1 log2 故 由 x x xf 1 1 log 2 1 11 x k x xf 1 log 2 1 即 k x x x 1 log 1 1 log 22 0 k 故 由则 上式得 11 1 1 1 x k x x x 11 x210 x210 x 即 11 1 1 1 x kx 11 1 x kx 当时 当时 20 k11 xk2 k11 x 综上 不等式的解为 当时 当时 20 k11 xk2 k11 x 例 2 设 在上的最大值减去最小值的差为 12 1 2 xxaxf 1 a 4 1 ag 求函数 ag 解 解 由 得 又根据 1 1 1 1 1 1 2 aa xaxf 1 a0 1 1 a 下段求 4 1 x ag 1 当 即时 在上为增函数1 1 1 a 0 a xf 4 1 afxf 1 min afxf169 4 max 故 169 aaag a159 2 当 即时 4 1 1 1 a4 3 0 a aa fxf 1 1 1 1 1 min 当即时 2 5 1 1 1 a5 3 0 aafxf169 4 max 故 1 1 1 169 a aag a a 1 1 168 当即时 4 1 1 2 5 a4 3 5 3 aaff 1 max 故 1 1 1 a aag a a 1 1 1 3 当即时 4 1 1 a 1 4 3 aafxf 1 max afxf169 4 min 故 915 169 aaaag 综上 1 4 3 915 4 3 5 3 1 1 1 5 3 0 1 1 168 0 159 aa a a a a a a aa ag 例 3 已知 函数 当时 abRc cbxaxxf 2 baxxg 11 x 1 xf 1 证明 2 证明 当时 1 c11 x2 xg 3 设 当时 的最大值为 2 求 0 a11 x xg xf 证明 证明 1 由条件时 取 得 又 故11 x1 xf0 x1 0 fcf 0 1 c 2 当时 在上是增函数 则0 abaxxg 1 1 1 1 gxgg 又由 11 1 xxf1 c 故2 1 1 1 cfcfbag 2 1 1 1 cfcfbag 由此得 当时 在上是减函数2 xg0 abaxxg 1 1 则 1 1 gxgg 又由 1 xf 11 x1 c 故2 1 1 1 cfcfbag 2 1 1 1 cfcfbag 由此得 当时 2 xg0 abxg cbxxf 由 故11 x2 1 1 cfcfxg 综上得2 xg 2 证法 2 由 得 1 1 4 1 22 xxx baxxg 2 1 2 1 2 1 2 1 22 xx b xx a 2 1 2 1 2 1 2 1 22 c x b x ac x b x a 2 1 2 1 x f x f 当时 有 11 x1 2 1 0 x 0 2 1 1 x 由 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x f x f x f x f 故2 xg 3 解 解 由 在上是增函数 当时 取得最大值 20 a xg 1 1 1 x 2 0 1 1 ffbag 又由 故1212 1 0 1 ff1 0 fc 因为当时 即 由二次函数的性质 11 x1 xf 0 fxf 为图象的对称轴故有 即 又由 得 故0 x xf0 2 a b 0 b2 ba2 a 12 2 xxf 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 已知 则 10 3 10 5 nn nnff nf Nn 5 f A 8 B 7 C 6 D 5 2 记满足下列条件的函数的集合为当 时 xfM1 1 x1 2 x 21 xfxf 若有 则与的关系是 21 4xx 12 2 xxxg xgM A B C D 不确定 xgMMxg xgM 3 对每个实数 设是 和三个函数中的最小者 则x xf14 x2 x42 x 的最大值是 xf A B 3 C D 3 8 3 2 2 1 二 填空题 1 函数 的反函数 2 1 xxxf 0 x 2 已知是奇函数 是偶函数 且 则 xf xg32 2 xxxgxf xgxf 3 函数的值域为 单调增区间是 23 log 2 3 1 xxxf 三 解答题 1 求函数的定义域和值域 log 1 log 1 1 log 222 xpx x x xf 2 已知函数定义域为 R 值域为 求 的值 1 8 log 2 2 3 x nxmx y 2 0 mn 试题答案试题答案 一 1 A 2 B 3 A 二 1 x x xf 2 1 2 1 1 x 2 32 2 xx 3 4 log 3 1 1 1 三 1 解 由 得 0 01 0 1 1 xp x x x px x1 由定义域为非空数集 则 定义域1 p 1 p 1 log 2 xpxxf 4 1 2 1 log 2 2 2 pp x 1 px 令 则的对称轴 4 1 2 1 2 2 pp xxg xg 2 1 p x 由 则1 p 2 1 p p 1 当 即时 p p 2 1 13 p 4 1 2 1 2 max pp gxg 2 1 log2 4 1 log 2 2 2max p p xf 即的值域为 xf 2 1 log2 2 p 2 当 即时 无最大值和最小值 利用单调性1 2 1 p 31 p xg 1 2 4 1 2 1 1 1 0 2 2 p pp gxg 故 1 log1 1 2 log 22 ppxf 即的值域为 xf 1 log1 2 p 2 解 令 则 即 1 8 2 2 x nxmx xgtty 3 log y t3 由 得 即20 y931 y 91 t 问题转化为有理分式函数 值域为时 求函数 的值 xgt Rx 9 1 mn 由 即nxmxxt 8 1 22 08 2 ntxxmt 由 即 0 0 4 8 2 ntmt 016 2 mntnmt 该不等式的解集即的值域 xgt 9 1 即 25 10 9116 91 nm nm nm nm 故5 nm