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高一数学函数的应用举例与实习作业1.在半径为r的圆O内有一点P,PO=a(a0),过点P的每一条弦都被P分成两段.设一段长为x,另一段长为y,则y关于x的函数解析式及其定义域为( )A.y=x(x0)B.y=x(raxr+a)C.y=x(x0)D.y=x(raxr+a)【解析】由相交弦定理得,y=x特别地,当过P点的弦为直径时x最小为ra,最大为r+a.即raxr+a.【答案】B2.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经3小时后,这种细菌可由1个分裂成( )A.511个B.512个C.1023个 D.1024个【解析】设经过小时,1个细菌可由1个分裂成y个,则y=2x,xN*当=3,即x=9时,y=512【答案】B3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,根据经验,该商品若每个涨(降)1元,其销售量就减少(增加)20个,为获得最大利润,售价应定为( )A.92元 B.94元 C.95元 D.88元【解析】设涨(降)x元,则利润y=(10+x)(40020x)=20(x5)2+4500(xZ且10x图21620)当x=5时,y最大.此时售价为90+5=95(元).【答案】C4.如图216,直角梯形OABC中,ABOC,BCOC,且AB=1,OC=BC=2,直线lx=l截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象为( )【解析】根据已知条件,当0t1时,S=f(t)应是关于t的二次函数且f(),f(1)=1;当1t2,S=f(t)应是关于t的一次函数,且f(1)=1,f(2)=3.【答案】C5.物体从静止状态下落,下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比,已知开始下落的最初两秒间,物体下落了19.6米,如果下落时间为3秒,则下降距离是_.【解析】设经过t秒,物体下降了y米,由已知y=at219.6=a22 a=4.9y=4.9t2当t=3时,y=44.1(米)【答案】44.1 米6.某商店经销一种洗衣粉,年销售总量为6000包,每包进价为2.8元、销售价为3.4元,全年分若干次进货、每次进货均为x包,已知每次进货运输费为62.5元,全年保管费为1.5x元,为使利润最大,则x=_.【解析】设获得的利润为y元,则y=(3.42.8)600062.51.5x=1.5(x+)+3600可证明函数在(0,500)上递增,在500,+)上递减,因此当x=500时,函数取得最大值.【答案】5007.在底边BC=60,高AD=40的ABC中作内接矩形MNPQ,如图228,设矩形面积为S,MN=x,写出面积S以x为自变量的函数式,并求其定义域.图228【解】 设另一边为y,则=y=40x,S=xy=40xx2由x0及y=40x0得定义域为(0,60)当x=30时,Smax=600值域为(0,600.8.某工厂现有职工2a人(1402a280),且a为偶数,每人每年可创利b万元,据评估在生产条件不变的条件下,每裁员1人,则留岗职工每人每年多创利1%,但每年需付下岗职工0.4b万元的生活费,并且该厂正常运转所需人数不得小于现有职工的,为获得最大的经济效益,该厂应裁员多少人?【解】 设裁员x人,则y=(2ax)(1+0.01x)b0.4bx=x22(a70)x+2ab,x=a70时,y取最大值,应裁员a70人.9.某工厂生产某产品x吨所需费用P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖掉,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨价格为40元,求实数a、b的值.【解】 利润=QxP=ax+10005xx2=()x2+(a5)x1000.依题意得解得:a=45,b=30.10.某地区上年度电价为0.80元/kW h,年用电量为a kW h.本年度计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间,而用户期望电价为0.4元/kWh.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本为0.3元/kWh.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式.(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注:收益=实际用电量(实际电价成本价).【解】()设下调后的电价为x元/kWh,依题意知用电量增至(+a),y=(+a)(x0.3),(0.55x0.75)(2)依题意有整理得解此不等式得0.60x0.75【答案】当电价最低定为0.60元/kWh仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.
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