高一数学数列的裂项法（一） 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如 ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 即 或 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。 【典型例题】 例1. 计算： 分析与解答： 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例2. 计算： 公式的变式 当 分别取1，2，3，100时，就有 例3. 设符号（ ）、代表不同的自然数，问算式 中这两个符号所代表的数的数的积是多少？ 分析与解：减法是加法的逆运算， 就变成 ，与前面提到的等式 相联系，便可找到一组解，即 另外一种方法 设 都是自然数，且 ，当 时，利用上面的变加为减的想法，得算式 。 这里 是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即 。 又因为 是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，是的约数时，一定有，即 上面指出当，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 故（ ）和所代表的两数和分别为49，32，27，25。 【模拟试题】 二.尝试体验： 1. 计算： 2. 计算： 3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。 【试题答案】 1. 计算： 2. 计算： 3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。 的值为：75，81，96，121，147，200，361。 因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有 （二） 前一节我们已经讲过，利用等式 ，采用“裂项法”能很快求出 这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式： ，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。 【典型例题】 例1. 分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。 下面我们用 ，现在给 、 一些具体的值，看看有什么结果。 当 时，有 当 时，有 当 时，有 当 时，有 当 时，有 上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如 ，这样采用裂项法也能较快求出结果来。 因为 ， ， 所以 例2. 因为 所以 同样可得 一般地，因为 这里 是任意一个自然数。 利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。 例3. 计算： 分析与解： 而 即 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。 【模拟试题】（答题时间：15分钟） 二. 尝试体验 1. 求和： 2. 求和： 3. 求和： 【试题答案】 1. 求和： 2. 求和： 3. 求和：