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第9章 第1节一、选择题1(文)已知一空间几何体的三视图如图所示,它的表面积是()A4B2C3 D3答案C解析由三视图可知,该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形直角边长和棱柱的高都是1,故表面积S22(11)13.(理)下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),可知几何体的表面积是()A18 B162C172 D182答案D解析由三视图可得,该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱,其表面积S323222182cm2.2一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是()A. B1C1 D2答案D解析设直观图为OABC,建立如图所示的坐标系,按照斜二测画法的规则,在原来的平面图形中OCOA,且OC2,BC1,OA121,故其面积为(11)22.3(文)一个封闭正方体各面分别标有A、B、C、D、E、F六个字母,现放成三种位置如图,则A、B、C对面字母分别为()AD、E、F BF、D、ECE、F、D DE、D、F答案B解析由图(1)可知,A、B、C是交于同一顶点的三个面,故由图(2)知,D的对面为B;由(3)知,A的对面为F,从而C的对边为E,选B.(理)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是()A0 B8C奥 D运答案B解析折起后,0和运,0和奥分别相对、2和8相对,2在上面,8在下面,另外两个0,一个在左面,一个在后面,奥在右面,运在前面4(文)(2020山东烟台)用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体,(1)为其俯视图,(2)为其正(主)视图,则这个几何体的体积最大是()A6cm3 B7cm3C8cm3 D9cm3答案B解析由俯视图可知,该几何体除左边一列外,其它各列只一行,结合正(主)视图知,前一行共5个,而左边一列后一行至多2个,故最多有7个小正方体构成(理)(2020合肥市)已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有()A BC D答案D解析底下一层为正四棱柱,上面两层为圆柱时为;底下为圆柱、上两层为正四棱柱时为;最上一层为圆柱、下两层为正四棱柱时为;底层为正四棱柱,中间为圆柱、上层为直三棱柱时为,故选D.5(2020山东日照)如图所示,一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为()A1 B.C. D.答案B解析几何图形的高是正(主)视图的高,底面积为俯视图的面积,由题知该几何体是一个三棱锥,底面是直角三角形,其两直角边长为1,故体积为VSh1.故选B.6(2020福建厦门市)一个组合体的三视图如图,则其体积为()A12 B16C20 D28答案C解析由空间几何体的三视图可知,该几何体为圆锥和圆柱的组合体,所以其体积为V22422320,故选C.7(文)(2020沈阳市)如图所示,某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是()答案C解析由正(主)视图和侧(左)视图可知,此几何体为柱体,易知高h1,且体积VSh(S为底面积),得S,结合各选项知这个几何体的底面可以是边长为1的等腰直角三角形,故选C.(理)(2020北京理,3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为()答案C解析由正视图和侧视图知,该长方体上面去掉的小长方体,从正前方看在观察者左侧,从左侧向右看时在观察者右侧,故俯视图为C.8(2020东营质检)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,ABC所在的小圆面积为16,则该三棱锥的高的最大值为()A7 B7.5C8 D9答案C解析ABC所在小圆面积为16,小圆半径rOA4,又球体积为,球半径R5,OO3,故三棱锥的高为POROO8或2,故选C.二、填空题9(文)(2020山东聊城联考)一个正方体表面展开图中,五个正方形位置如图阴影所示第六个正方形在编号1到5的位置,则所有可能位置的编号是_答案解析将表面展开图还原为正方体知,正确(理)(2020浙江宁波十校)取棱长为a的正方体的一个顶点,过此顶点出发的三条棱的中点作截面,截去正方体的一个角,对正方体的所有顶点都如此操作,则所剩下的多面体:有12个顶点有24条棱表面积3a2体积a3以上结论正确的有_(填上正确的序号)答案解析由操作方法可知,原正方体每条棱的中点都是剩下的几何体的顶点,且除此之外别无顶点,故有12个顶点;原正方体每个面上4条棱的中点顺次连接形成一个正方形,该正方形为剩下多面体的一个面,正方形的四条边为多面体的棱,故剩下的多面体有24条棱,截去的每个角体积为,余下多面体的体积为Va38a3.而余下多面体的表面积S6a23882(3)a2,故填.10(文)(2020青岛模拟)若正三棱锥的主视图与俯视图如图所示(单位:cm),则它的左视图的面积为_cm2.答案解析由该正三棱锥的主视图和俯视图可知,其左视图为一个三角形,它的底边长等于俯视图的高即,高等于主视图的高即,所以左视图的面积为Scm2.(理)一多面体的三视图如下图所示,则其体积为_答案解析由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,底面是边长为2的正方形ABCD,一个侧面是边长为2的正三角形PAB,该侧面与底面垂直,故其体积V22.其直观图如图11(2020南京市调研)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.答案13解析如图,将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上,以A1A为界,滚动两周(即将侧面展开两次),则最短线长为AA1的长度,AA15,AA12,AA113.12(2020山东聊城、邹平模考)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中正(主)视图是直角梯形,侧(左)视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是_cm3.答案解析依据三视图知,该几何体的上、下底面均为矩形,上底面是边长为1的正方形,下底面是长为2,宽为1的矩形,左侧面是与底面垂直的正方形,其直观图如图所示,易知该几何体是四棱柱ABCDA1B1C1D1,其体积VS梯形ABCDAA11cm3.三、解答题13(2020茂名模考)如图,在直角梯形ABCD中,B90,DCAB,BCCDAB2,G为线段AB的中点,将ADG沿GD折起,使平面ADG平面BCDG,得到几何体ABCDG.(1)若E,F分别为线段AC,AD的中点,求证:EF平面ABG;(2)求证:AG平面BCDG;(3)VCABD的值解析(1)证明:依题意,折叠前后CD、BG位置关系不改变,CDBG.E、F分别为线段AC、BD的中点,在ACD中,EFCD,EFBG.又EF平面ABG,BG平面ABG,EF平面ABG.(2)证明:将ADG沿GD折起后,AG、GD位置关系不改变,AGGD,又平面ADG平面BCDG,平面ADG平面BCDGGD,AG平面AGD,AG平面BCDG.(3)解:由已知得BCCDAG2,又由(2)得AG平面BCDG,即点A到平面BCDG的距离AG2,VCABDVABCDSBCDAG2.14(文)(2020深圳市调研)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E在棱CC1的延长线上,且CC1C1EBCAB1.(1)求证:D1E平面ACB1;(2)求证:平面D1B1E平面DCB1;(3)求四面体D1B1AC的体积解析(1)连接BC1,则AD1綊BC1綊B1E,四边形AB1ED1是平行四边形D1EAB1.又AB1平面ACB1,D1E平面ACB1,D1E平面ACB1.(2)由已知得B1CB1E,CE2,则B1C2B1E24CE2.则B1EB1C,易知:CD平面B1BCE,而B1E平面B1BCE,则CDB1E,B1E平面DCB1,又B1E平面D1B1E,平面D1B1E平面DCB1.(3)由图易知四面体D1B1AC的体积VVABCDA1B1C1D1VAA1B1D1VBACB1VCB1C1D1VDACD124.(理)(2020青岛市质检)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧(左)视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示(1)求出该几何体的体积;(2)若N是BC的中点,求证:AN平面CME;(3)求证:平面BDE平面BCD.解析(1)由题意可知,四棱锥BACDE中,平面ABC平面ACDE,ABAC,所以,AB平面ACDE,又ACABAE2,CD4,则四棱锥BACDE的体积为VSACDEAB24.(2)连接MN,则MNCD,AECD,又MNAECD,所以四边形ANME为平行四边形,ANEM,AN平面CME,EM平面CME,所以,AN平面CME.(3)ACAB,N是BC的中点,ANBC,又在直三棱柱中可知,平面ABC平面BCD,AN平面BCD,由(2)知,ANEM,EM平面BCD,又EM平面BDE,所以,平面BDE平面BCD.
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