2020 届安徽省合肥市肥东县高级中学高三4 月调研考试数学 文 试题 全卷满分150 分 考试用时120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 务必将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷选择题 共60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 已知 为实数集 集合 则集合 为 A B C D 2 已知复数是虚数单位 则 A B C 0 D 2 3 将甲 乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图 由图可知以下结论正确 的是 A 甲队平均得分高于乙队的平均得分B 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D 甲乙两队得分的极差相等 4 已知各项均为正数的等比数列的前 项和为若 成等差数列 则数列的公 比为 A B C 2 D 3 5 执行如图所示的程序框图 输出的值为 A B C D 6 已知直线20axy与圆 22 14xya相交于两点 且线段AB是圆 C 的所 有弦中最长的一条弦 则实数 a A 2 B 1 C 1或 2 D 1 9 椭圆 22 1 43 xy C的左 右顶点分别为 12 AA 点 P 在C 上 且直线 2 PA的斜率的取值范围 是2 1 那么直线 1 PA斜率的取值范围是 A 3 3 8 4 B 1 3 2 4 C 1 1 2 D 3 1 4 10 如图 已知三棱柱的各条棱长都相等 且底面 是侧棱的中点 则异面直线和所成的角为 A B C D 11 已知定义在 R上的函数恒成立 则不等式的解集 为 A B C D 12 已知函数sin 0 3 fxAxxR A 0 2 yfx 的部分图像如图所示 P Q分别为该图像的最高点和最低点 点 PR垂x轴于 R R的坐标为 1 0 若 2 3 PRQ 则0f A 1 2 B 3 2 C 3 4 D 2 4 第 II卷非选择题 共90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知 7 cos 2 25 则sincos 22 14 已知正数满足 则的最小值是 15 已知双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0 b 的左右焦点分别为 1 F 2 F 点 P 在双曲线的左 支上 2 PF与双曲线右支交于点Q 若 1 PF Q为等边三角形 则该双曲线的离心率是 16 如图 圆形纸片的圆心为 半径为 该纸片上的正方形的中心为 边长为 都在圆上 分别是以为底边的等腰三角形 沿虚 线剪开后 分别以为折痕折起 使得重合 得到一 个四棱锥 则该四棱锥体积为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 某省的一个气象站观测点在连续4 天里记录的AQI指数 M 与当天的 空气水平可见度 y 单位 cm 的情况如表 1 该省某市 2016年 11月AQI指数频数分布如表 2 M 0 200200 400400 600600 800800 1000 频数3 6 12 6 3 1 设 100 M x 根据表 1 的数据 求出 y 关于x的线性回归方程 附参考公式 ybxa 其中 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx a ybx 2 小李在该市开了一家洗车店 经统计 洗车店平均每天的收入与AQI指数由相关关系 如表 3 M0 200200 400400 600600 800800 1000 日均收入 元 20001000200060008000 根据表 3 估计小李的洗车店该月份平均每天的收入 18 本题满分 12 分 已知数列 n a中 1 1a 1 21 nn n n aa a a 1 求数列 n a的通项公式 2 若 1nnn ba a 求数列 nb 的前n项和 n T 19 本题满分12 分 如图所示 三棱柱 111 ABCA B C中 已知AB侧面 11 BB C C 1ABBC 1 2BB 1 60BCC o 求证 1 BC平面 ABC E 是棱 1 CC上的一点 若三棱锥EABC 的体积为 3 12 求 CE的长 20 本题满分 12 分 已知函数 2 22 x xa xa fx e 0a e为自然对数的底数 讨论 fx 的单调性 当0 x时 不等式 fxe恒成立 求实数 a的值 21 本题满分 12 分 已知抛物线 C 2 2 0 ypx p的焦点为 F 直线4y与 y 轴的交点 为 P 与 C的交点为 Q 且 5 4 QFPQ 1 求 C的方程 2 过 F的直线 l 与 C相交于 A B两点 若 AB的垂直平分线 l 与 C相较于 M N两点 且 A M B N四点在同一圆上 求 l 的方程 请考生在22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线 C 的参数方程为 3 2 xcos ysin 为参数 以原点为极点 x轴的正半 轴为极轴 建立极坐标系 曲线D的极坐标方程为4sin 6 写出曲线 C的极坐标的方程以及曲线D 的直角坐标方程 若过点2 2 4 A 极坐标 且倾斜角为 3 的直线 l 与曲线 C 交于M N 两点 弦 MN 的中点为P 求 AP AMAN 的值 23 本题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 fxxa 其中 1a 当2a时 求不等式44fxx的解集 已知关于 x的不等式222fxafx 的解集为 12 xx 求a的值 参考答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 A 8 D 9 A 10 A 11 D 12 B 13 1 5 14 15 7 16 17 1 2141 24 0 yx 2 2400元 解析 1 1 97315 4 x 1 0 53 56 59 5 4 y5 4 1 90 573 536 51 9 558 ii i x y 4 22222 1 9731140 i i x 2 584 5521 1404520 b 2141 55 204 a 所以 y关于x的线性回归方程为 2141 24 0 yx 2 根据表 3 可知 该月 30 天中有 3 天每天亏损约 2000 元 有 6 天每天亏损约 1000 元 有 12 天每天收入约 2000元 有 6 天每天收入约 6000 元 有 3 天每天收入约 8000 元 估计 小李的洗车店该月份平均每天的收入约为 1 200031000620001260006800032400 30 元 18 1 1 21 n a n 2 21 n n T n 解析 1 由 1 21 nn n n aa a a 可得 1 11 2 nn aa 又由 1 1a 1 n a 是公差为 2 的等差数列 又 1 1 1 a 1 12121 n nn a 1 21 n a n 2 1 1 2121 nnn ba a nn 111 22121nn 111111 1 23352121 n T nn L 11 1 22121 n nn 19 解析 证明 因为AB平面 11 BBC C 1 BC平面 11 BB C C 所以 1 ABBC 在 1 CBC中 1BC 11 2CCBB 1 60BCC o 由余弦定理得 22222 11112 cos122 1 2cos603BCBCCCBCCCBCC o 所以 1 3BC 故 222 11 BCBCCC 所以 1 BCBC 又 BCABB 1 C B平面 ABC ABQ面 11 BB C C 113 1 3312 EABCA EBCBCEBCE VVSABS 31113 sin 422322 BCE SCE dCEBCCE 1CE为所求 20 当0a时 fx 在 上为减函数 当0a时 则 fx 在 0 a上 为减函数 在 0a上为增函数 1a 解析 x ax x fx e 令 12 00 fxxxa 0a时 则0fx 当且仅当0 x时取等号 fx 在 上为减函数 当0a时 则 0 0 xafxfx 在 0 a上 为 减 函 数 00 xafxfx 在 0a上为增函数 2 221 1 x xxa x fxfe e 由于不等式 fxe恒成立 说明 fx 的最小值为e 当1x时 1fe 说明101fa 下面验证 当1a时 由 可知 fx 在 1 上为减函数 fx 在1 0 上为增函数 当1x时 fx 有最小值1fe 即有 fxe 故1a适合题意 21 1 2 4yx 2 直线 l 的方程为10 xy或10 xy 解析 1 设 0 4 Q x 代入 2 2ypx 得 00 888 22 pp xPQQFx ppp 由题设 得 858 24 p pp 解得2p 舍去 或2p C的方程为 2 4yx 2 由题设知 l 与坐 标轴不垂直 故可设l 的方程为10 xmym 代入 2 4yx得 2 440ymy 设 1122 A xyB xy 则 12 4 yym 12 4y y 故 AB 的中点为 222 12 21 2 141DmmABmyym 又 l 的斜率为 ml 的方程为 21 23xym m 将上式代入 2 4yx 并整理得 22 4 4 230yym m 设 3344 MxyB xy则 2 3434 4 4 23yyy ym m 故 MN 的中点为 22 2 34 222 4121 221 23 1 mm EmMNyy mmmm 由于 MN 垂直平分线AB 故 A MB N四点在同一圆上等价于 1 2 AEBEMN 从而 22211 44 ABDEMN即 2 2222 2 2 24 4121 22 4122 mm mm mmm 化简得 2 10m 解得1m或1m 所求直线 l 的方程为10 xy或10 xy 22 曲线 C 的极坐标方程为 2222 cossin 1 94 曲线 D 的直角坐标方程为 22 xy2 32yx 4193 16 解析 由题意 C的方程为 3 2 xcos ysin 可得 C 的普通方程为 22 1 94 xy 将 xcos ysin 代入曲线方程可得 2222 cossin 1 94 因为曲线D的极坐标方程为4sin 6 所以 231 4 sin4sincos 622 又 222 xy cosx siny 所以 22 2 32xyyx 所以曲线 C的极坐标方程为 2222 cossin 1 94 曲线 D 的直角坐标方程为 22 xy 2 32yx 因为点2 2 4 A 化为直角坐标为 2 22 4 2 22 2 xcos ysin 所以2 2A 因为直线 l 过点2 2A且倾斜角为 3 所以直线 l 的参数方程为 1 2 2 3 2 2 xt yt t为参数 代 入 22 1 94 xy 中可得 231 818 3160 4 tt 所以由韦达定理 12 3272 3 31 b tt a 1 2 64 31 c t t a 所以 12 1 2 419 32 16 tt AP AMANt t 23 1 5 x xx或 3a 解析 当2a时 26 2 4 2 24 26 4 xx fxxx xx 当2x时 由44fxx得264x 解得1x 当 24x时 44fxx无解 当4x时 由44fxx得 264x 解得5x 所以44fxx的解集是 1 5 x xx或 记22h xfxafx 则 2 0 42 0 2 a x h xxaxa a xa 由2h x解得 11 22 aa x 又已知2h x的解集为 12 xx 所以 1 1 2 1 2 2 a a 于是 3a