绝密 启用前 2019 2020 学年四川省成都外国语学校高二下学期开学考试 数学 理 试题 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息2 请将答案正确填写在 答题卡上 一 单选题 1 设zC且0z z是纯虚数 是 2 zR 的 A 充分非必要B 必要非充分C 充要条件D 即非充分又非必 要 答案 A 根据充分 必要条件的定义 结合 z是纯虚数 2 zR 二者关系 即可求解 解 z是纯虚数 则 2 zR 成立 当 zR时 2 zR 即 2 zR z不一定是纯虚数 z是纯虚数 是 2 zR 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题考查充分不必要条件的判断 考查纯虚数的特征 属于基础题 2 随着 银发浪潮 的涌来 养老是当下普遍关注的热点和难点问题 某市创新性的 采用 公建民营 的模式 建立标准的 日间照料中心 既吸引社会力量广泛参与养 老建设 也方便规范化管理 计划从中抽取5 个中心进行评估 现将所有中心随机编号 用系统 等距 抽样的方法抽取 已知抽取到的号码有5 号 23 号和 29 号 则下面号码 中可能被抽到的号码是 A 9 B 12 C 15 D 17 答案 D 根据等距抽样的特点 求得抽样距离 即可列出抽取的号码 从而判断 解 由等距抽样的方法可知 23 号和 29 号差 6 则可以抽到5 号 11 号 17 号 23 号 29 号 故选 D 点评 本题考查系统抽样的特点 属基础题 3 已知某7 个数的平均数为4 方差为 2 现加入一个新数据4 此时这 8 个数的平均 数为x 方差为 2 s 则 A 4x 2 2sB 4x 2 2sC 4x 2 2sD 4x 2 2s 答案 A 由题设条件 利用平均数和方差的计算公式进行求解即可 解 解 某 7 个数的平均数为 4 方差为2 则这 8 个数的平均数为 1 744 4 8 x 方差为 2217 72 44 2 84 s 故选 A 点评 本题考查了平均数和方差的计算应用问题 属于基础题 4 命题 xZ 使 2 210 xx 的否定为 A xZ 2 210 xx B xZ 2 210 xx C xZ 2 210 xxD xZ 2 210 xx 答案 A 根据全称命题的否定直接判定即可 解 命题 xZ 使 2 210 xx 的否定为 xZ 2 210 xx 故选 A 点评 本题主要考查了全称命题的否定 属于基础题 5 若复数z 5 3 2 i i 则复数z在复平面内对应的点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案 D 运用虚数单位 i的幂运算的性质和复数除法运算法则化简复数 z 最后进行判断即可 解 因为 5 33 3 2 1 22 2 2 iiii zi iiii 所以复数z在复平面内对应的点在第四 象限 故选 D 点评 本题考查了复数的除法运算法则 考查了虚数单位的幂运算的性质 考查了复数对应点 的特征 考查了数学运算能力 6 执行如图所示的程序框图 输出的S的值为 A 25B 24C 21D 9 答案 A 根据程序框图 顺着流程线依次代入循环结构 得到结果 解 第一次循环 09S 97T 第二次循环 97S 975T 第三次循环 975S 9753T 第四次循环 9753S 9753 1T 第五次循环 97531S 9753 11T 此时循环结束 可得 591 25 2 S 选 A 点评 本题考查了循环结构 顺着结构图 依次写出循环 属于简单题型 7 若直线22 0 0 mxnymn被圆 22 2410 xyxy截得弦长为4 则 41 mn 的最小值是 A 9 B 4 C 1 2 D 1 4 答案 A 圆方程配方后求出圆心坐标和半径 知圆心在已知直线上 代入圆心坐标得 m n满足 的关系 用 1 的代换结合基本不等式求得 41 mn 的最小值 解 圆标准方程为 22 1 2 4xy 圆心为 1 2 C 半径为2r 直线被圆截得弦长为4 则圆心在直线上 222mn 1mn 又0 0mn 41414 5 nm mn mnmnmn 4 529 nm mn 当且仅当 4nm mn 即 21 33 mn 时等号成立 41 mn 的最小值是9 故选 A 点评 本题考查用基本不等式求最值 解题时需根据直线与圆的位置关系求得 m n的关系 1mn 然后用 1 的代换法把 41 mn 凑配出可用基本不等式的形式 从而可求得 最值 8 若方程 2 1424xkxk 有两个相异的实根 则实数k的取值范围是 A 1 3 3 4 B 1 3 3 4 C 53 12 4 D 53 12 4 纟 棼 答案 D 由题意可得 曲线 22 1 4 1 xyy 与直线4 2 yk x有 2 个交点 数形结 合求得k的范围 解 如图所示 化简曲线得到 22 1 4 1 xyy 表示以 0 1 为圆心 以 2 为半径的 上半圆 直线化为4 2 yk x 过定点 2 4 A 设直线与半圆的切线为AD 半圆的左端点为 2 1 B 当 ADAB kkk 直线与半圆有 两个交点 AD与半圆相切时 2 124 2 1 k k 解得 5 12 AD k 413 2 2 4 AB k 所以 53 12 4 k 故选 D 点评 本题考查直线与圆的位置关系 属于中档题 9 已知函数 2 lnf xxfex 则fe A eB eC 1 D 1 答案 C 先求导 再计算出 fe 再求fe 解 由题得 111 2 2 fxfefefefe xee 所以 1 2 ln2 11f eefeee e 故选 C 点评 本题主要考查导数的计算 意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力 属基 础题 10 已知双曲线 2 2 1 3 y C x的左 右焦点分别为1 F 2 F 过 1 F的直线l分别与两 条渐近线交于 A B两点 若 12 0FB F B uuu r uuur 1 F AAB uuu ru uu r 则 A 3 2 B 1 2 C 1 D 3 4 答案 C 易知 12 F BF B 可得 2 BOOFc 再结合双曲线的渐近线 可得 2 BOFV 为正三 角形 且 2 AO BF 从而可知 A为线段 1FB的中点 解 由 12 0F B F B uuu r uuur 可知 12 F BF B 则2 BOOFc 因为双曲线 2 2 1 3 y Cx的渐近线为3yx 所以2 120AOF 2 60BOF 故 2 BOFV 为正三角形 且2 AO BF 所以AO为 12 BF F 的中位线 A为线段 1 F B的中点 即 1 F AAB uu u ruu u r 故 1 故选 C 点评 本题考查双曲线的性质 三角形的性质 平面向量的性质 考查学生的计算求解能力 属于基础题 11 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F 2 F 上顶点为A 延 长 2 AF交椭圆C于点B 若 1 ABF 为等腰三角形 则椭圆的离心率 e A 1 3 B 3 3 C 2 3 D 1 2 答案 B 由 1 ABF为等腰三角形 可知 1 BFBA 可求出 2 AFa 设 1 F Bx 结合椭 圆的定义可求得 3 2 xa 过点 B作x轴的垂线 交 x轴于C点 易知 22 AOFBCFVV 可求出点B的坐标 将点B的坐标代入椭圆方程 进而可求出离心率 解 在直角三角形 2 AOF 中 22 2 AFbca 且1 AFa 易知 1 BFa BAa 故等腰 1 ABF中 1 BFBA 设 1 BFx 则 22 BFBAAFxa 由椭圆的定义知 12 2F BF Ba 则 2xxaa 解得 3 2 xa 所以 2 1 2 BFa 过点 B作x轴的垂线 交 x轴于C点 易知 22 AOFBCFVV 所以 2 11 22 BCb F Cc 故点 B的坐标为 3 22 cb 将点B的坐标代入椭圆方程得 22 22 9 1 44 cb ab 解得 2 2 2 1 3 c e a 故 3 3 e 故选 B 点评 本题考查椭圆的性质 考查离心率的求法 考查学生的计算求解能力 属于中档题 12 已知圆M x 2 y 1 2 1 圆 N x 2 y 1 2 1 直线 l1 l2分别过圆心M N 且l1与圆M 相交于A B l2与圆N相交于C D P是椭圆 22 1 34 xy 上的任意一动点 则 PA PBPC PD uu u v uuu vuuu v uuu v 的最小值为 A 3 B 2 3C 3 D 6 答案 D 由已知 M N分别为 AB CD中点 且为椭圆的焦点 根据向量的加法以及数量积的运 算公式 可得 22 2PA PBPC PDPMPN uu u r u u u ruuu r uuuu ruu ru uu u r 而4PMPN 结合基本不 等式 即可求解 解 如图所示 圆心M 0 1 N 0 1 即为椭圆的焦点 PAPMMA uu u ru uuu ruuu r PBPMMB uu u ruu uu ruu ur 0MAMB u uu ru uu rr 22 1PA PBPMMA MBPM u uu r uu uuu u r uuu ruuuu ruuu u rr 同理 2 1PC PDPN u uu r uu u ruu u r 22 2PA PBPC PDPMPN uu u r uuu ruuu r uuuu ru u ruu uu r PM PN 4 2 22 PMPN u uu u ruuu r 2 PMPN uu u u ruu u r 16 当且仅当 PM PN 2 时取等号 22 PMPN uuu u ru uu r 8 22 26PA PBPC PDPMPN uu u r uuu ruuu r uuu ruuuuuuurr 故选 D 点评 本题考查椭圆的标准方程及其性质 圆的标准方程及其性质 向量的线性关系以及数量 积的计算 基本不等式的应用 考查了推理能力和计算能力 属于较难题 二 填空题 13 某市有中外合资企业160 家 私营企业320 家 国有企业240 家 其他性质的企业 80 家 为了了解企业的管理情况 现用分层抽样的方法从这800 家企业中抽取一个容 量为n的样本 已知从国有企业中抽取了12 家 那么n 答案 40 由题意可知 12 240800 n 计算结果 解 由题意可知 12 240800 n 解得 40n 故答案为 40 点评 本题考查分层抽样 意在考查基本公式和基本计算能力 属于简单题型 14 在区间 0 1 上任取两个数 a b 则函数 22 fxxaxb 无零点的概率为 答案 3 4 0 1a 0 1b 由fx无零点 可知 22 40ab 从而可得20ab 作出不等式组 01 01 20 a b ab 对应的图形 结合几何概型的概率公式 可求出答案 解 由题意可知 0 1a 0 1b 又因为 22 fxxaxb 无零点 所以 22 40ab 故只需20ab即可 作出不等式组 01 01 20 a b ab 对应的图形 如下图阴影部分 其中OABD是边长为 1 的正方形 C为BD的中点 所以 1 OABD S 1 11 3 2 24 OABC S 根据几何概型的概率公式可得 函数 fx 无零点的概率为 3 4 OABC OABD S P S 故答案为 3 4 点评 本题考查几何概型问题 利用数形结合的方法是解决本题的关键 属于中档题 15 过椭圆 22 1 32 xy 内一点1 1P引一条恰好被P点平分的弦 则这条弦所在直线 的方程是 答案 2350 xy 由题意可知 该直线斜率存在 设直线与椭圆交于 1122 A x yB xy两点 进而分 别将两点坐标代入椭圆方程并相减 再结合 AB的中点为 1 1P 可求出该直线的斜率 进而可求出直线方程 解 由题意知 该直线斜率存在 设直线与椭圆交于 1122 A x yB xy两点 斜率为k 则 22 11 22 22 1 32 1 32 xy xy 两式相减得 1212 1212 2 3 yyyy xx