24 2 2直线和圆的位置关系 第二课时 2 直线l和 O相切 1 圆和直线的位置关系 1 直线l和 O相离 3 直线l和 O相交 d r d r d r 旧知回顾 2 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向 问题 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向 观察 提出问题 分析发现 根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线 但有时使用定义判定很不方便 我们从另一个侧面去观察 那就是直线和圆的位置怎样时 直线也是圆的切线呢 图 2 中直线l是 O的切线 怎样判定 请在 O上任意取一点A 连接OA 过点A作直线l OA 思考一下问题 1 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系 2 二者位置有什么关系 为什么 3 由此你发现了什么 l 发现 1 直线l经过半径OA的外端点A 2 直线l垂直于半径0A 则 直线l与 O相切 这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法 切线的判定定理 直线与圆相切的判定定理 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 对定理的理解 切线需满足两条 经过半径外端 垂直于这条半径 O r l A 如图所示 OA是半径 l OA于A l是 O的切线 定理的几何符号表达 判断 1 过半径的外端的直线是圆的切线 2 与半径垂直的的直线是圆的切线 3 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 问题 定理中的两个条件缺少一个行不行 两个条件 缺一不可 O A L 思考 将上页思考中的问题反过来 如果L是 O的切线 切点为A 那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢 一定垂直 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 切线和圆只有一个公共点 切线和圆心的距离等于半径 切线垂直于过切点的半径 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 归纳 O A L 切线的性质 例1 已知 直线AB经过 O上的点C 并且OA OB CA CB 求证 直线AB是 O的切线 O B A C 分析 由于AB过 O上的点C 所以连接OC 只要证明AB OC即可 证明 连结OC 如图 OAB中 OA OB CA CB AB OC OC是 O的半径 AB是 O的切线 已知一个圆和圆上的一点 如何过这个点画出圆的切线 辅助线 有点连圆心 证垂直 辅助线 无交点 作垂直 证等于半径 例2 已知 O为 BAC平分线上一点 OD AB于D 以O为圆心 OD为半径作 O 求证 O与AC相切 O A B C D 证明 过O作OE AC于E AO平分 BAC OD AB OE OD即圆心O到AC的距离d r AC是 O切线 例1与例2的证法有何不同 1 如果已知直线经过圆上一点 则连结这点和圆心 得到辅助半径 再证所作半径与这直线垂直 简记为 连半径 证垂直 2 如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点 则过圆心作直线的垂线段为辅助线 再证垂线段长等于半径长 简记为 作垂直 证半径 归纳分析 例已知 ABC为等腰三角形 O是底边BC的中点 腰AB与 O相切于点D 求证 AC是 O的切线 E 分析 连接OD 点D是半径外端 OD AB 作OE AC于E 证OE OD 1 如图 AB是 O的直径 ABT 45 AT AB 求证 AT是 O的切线 练习 证明 ABT 45 AT AB T 45 BAT 90 AT O的切线 2 如图 AB是 O的直径 直线l1 l2是 O的切线 A B是切点 l1 l2有怎样的位置关系 证明你的结论 练习 证明 又 AB是 O的直径 l1 l2是 O的切线 A B是切点 l1 AB l2 AB l1 l2 1 定义法 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线 2 数量法 d r 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 3 判定定理 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证明直线与圆相切有如下三种途径 即 1 若直线与圆的一个公共点已指明 则连接这点和圆心 说明直线垂直于经过这点的半径 2 若直线与圆的公共点未指明 则过圆心作直线的垂线段 然后说明这条线段的长等于圆的半径 再见