最优控制习题答案1. 设系统方程及初始条件为，。约束。若系统终态自由，利用连续系统极大值原理求性能指标，取最小值。解：2. 设一阶离散时间系统为，初值，性能指标为，试用离散系统最小值原理求解最优控制序列：，使J取极小值。解：3. 软着落、空对空导弹的拦截问题、防空拦截问题。解答：4. 设离散系统状态方程为，已知边界条件，。试用离散系统最小值原理求最优控制序列，使性能指标取极小值，并求出最优的曲线序列。解：属于控制无约束，N不变，终端固定的离散最优控制问题，构造离散哈密尔顿函数其中为给定拉个朗日乘子序列，由伴随方程：，得出，由极值条件极小可使，令k=0和k=1的，带入状态方程并令k=0和1得到：5. 求泛函满足边界条件和约束条件的极值曲线。解：应用拉格朗日乘子法，新目标函数为：，令哈密尔顿函数为：，可以得到无约束条件新的泛函的欧拉方程为.(1) .(2) .(3)由(2)得到，导出，其中，对约束条件求导，有带入(4)得积分得出，其中带入的边界条件得出，根据约束条件和的边界条件则，所以极值曲线为，6. 求泛函的变分。解：=7. (Kuhn-Tucher)定理求满足下列不等式约束，求函数的极小值。解：根据定理得：，其中。在两个约束条件围得出此时解得：，将解代入不等式满足，则极小值。在两个约束条件上时得出或然后代入方程看、是否大于零满足。在第一个约束条件上，第二个约束条件得解得x、y、看是否满足条件(自己计算)在第一个约束条件，第二个约束条件上得解的x，y、看是否满足条件(自己计算)8. 采用拉格朗日乘子法求二次型函数，求线性方程约束条件下，的极小值，并证明极小值点。解：令，由于：，由拉格朗日乘子法充分条件有：=,由于为正定矩阵，知取极小值，由解的：解出x=？，u=？9. 设多元函数为，求的极值点及极小值点。解：=0，解得：(自己解)。，因为A是正定矩阵，取极小值。代入上述解。10. 求对向量b的导数。解：=11. 将标量函数写成形式，求。解：f=，A=，所以：，所以=Y。12. 求泛函满足边界条件的极小值函数，并判断极值的性质。解：，由欧拉公式，推出：，由边界条件得出，故极值函数：。13. 求给定的二次函数的极值点。解：，=0得出只能处，故是正定的，所以在处取极小值。14. 将标量函数写成形式，求。解：，其中A=，所以：，所以=x。