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最优控制习题答案1. 设系统方程及初始条件为,。约束。若系统终态自由,利用连续系统极大值原理求性能指标,取最小值。解:2. 设一阶离散时间系统为,初值,性能指标为,试用离散系统最小值原理求解最优控制序列:,使J取极小值。解:3. 软着落、空对空导弹的拦截问题、防空拦截问题。解答:4. 设离散系统状态方程为,已知边界条件,。试用离散系统最小值原理求最优控制序列,使性能指标取极小值,并求出最优的曲线序列。解:属于控制无约束,N不变,终端固定的离散最优控制问题,构造离散哈密尔顿函数其中为给定拉个朗日乘子序列,由伴随方程:,得出,由极值条件极小可使,令k=0和k=1的,带入状态方程并令k=0和1得到:5. 求泛函满足边界条件和约束条件的极值曲线。解:应用拉格朗日乘子法,新目标函数为:,令哈密尔顿函数为:,可以得到无约束条件新的泛函的欧拉方程为.(1) .(2) .(3)由(2)得到,导出,其中,对约束条件求导,有带入(4)得积分得出,其中带入的边界条件得出,根据约束条件和的边界条件则,所以极值曲线为,6. 求泛函的变分。解:=7. (Kuhn-Tucher)定理求满足下列不等式约束,求函数的极小值。解:根据定理得:,其中。在两个约束条件围得出此时解得:,将解代入不等式满足,则极小值。在两个约束条件上时得出或然后代入方程看、是否大于零满足。在第一个约束条件上,第二个约束条件得解得x、y、看是否满足条件(自己计算)在第一个约束条件,第二个约束条件上得解的x,y、看是否满足条件(自己计算)8. 采用拉格朗日乘子法求二次型函数,求线性方程约束条件下,的极小值,并证明极小值点。解:令,由于:,由拉格朗日乘子法充分条件有:=,由于为正定矩阵,知取极小值,由解的:解出x=?,u=?9. 设多元函数为,求的极值点及极小值点。解:=0,解得:(自己解)。,因为A是正定矩阵,取极小值。代入上述解。10. 求对向量b的导数。解:=11. 将标量函数写成形式,求。解:f=,A=,所以:,所以=Y。12. 求泛函满足边界条件的极小值函数,并判断极值的性质。解:,由欧拉公式,推出:,由边界条件得出,故极值函数:。13. 求给定的二次函数的极值点。解:,=0得出只能处,故是正定的,所以在处取极小值。14. 将标量函数写成形式,求。解:,其中A=,所以:,所以=x。
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