4 2洛必达法则 一 未定式 例如 下列极限都是未定式 二 型未定式的极限 定理4 1 洛必达法则I 说明 当定理中x a改为x 时 洛必达法则同样有效 L Hospital 1661 1704 法国数学家 设函数f x 与g x 满足条件 令f a g a 0 于是f x 及g x 在点a的某邻域内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有 简要证明 定理4 1 洛必达法则I 如果函数f x 及g x 满足 1 当x a时 f x 0 g x 0 2 在点a的某去心邻域内可导 且g x 0 解 原式 解 例2 解 验型 解 例3 例4 例5 解 原式 存在非零因子 化简 例7 例8 因ex 1 x x 0 故有ex sinx 1 x sinx x 0 因arcsinx x x 0 故有arcsinx3 x3 x 0 例9 注 洛必达法则是求解未定式极限的有效方法 但是要结合各种方法 以求最捷方式 1 等价无穷小替换法 2 将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算 3 过程中注意化简 2 只要满足条件 可多次使用洛必达法则 但每次使用前都必须检验极限类型是否为型 定理4 2 洛必达法则II 设函数f x 与g x 满足 说明 当定理中x a改为x 时 洛必达法则同样有效 三 型未定式的极限 解 例10 例11 例12 结论 都是无穷大量 但是它们的阶数不相同 即有 极限不存在 出现循环 四 洛必达法则失效的情况 注 使用洛必达法则时 若不存在 也不为 这不能说明原极限不存在 此时洛必达法则 失效 应改用其它方法计算 五 其他类型未定式的极限 对于未定式0 00 1 0 都可以转化为 例13 解 例14 解 因为 例15 解 因为 例16 例17 洛必达法则 通分 有理化 小结 例18 练习