2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷，解析版）本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共l0小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】A解析：因为，所以，故选A.2.已知，则A. B. C. D. 【答案】A解析：由已知.，所以,故选A.3.已知函数，若，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B解析：由条件得，则，解得，所以选B.4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为，则A. B. C. D. 【答案】CxyOFABCD解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为，所以选C.5.已知随机变量服从正态分布，且，则A. B. C. D. 【答案】CxyO42解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线对称，所以，并且则所以选C.6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则A. B. C. D. 【答案】B解析：由条件，即，由此解得，所以，所以选B.KA1A27.如图，用三类不同的元件连接成一个系统，正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为、，则系统正常工作的概率为A. B. C. D. 【答案】B解析：至少有一个正常工作的概率为，系统正常工作概率为，所以选B.8.已知向量a，b，且ab.若满足不等式，则的取值范围为A. B. C. D. xyOA(0,1)B(1,0)C(0,-1)D(-1,0)l1l2【答案】D解析：因为ab，则，满足不等式，则点的可行域如图所示,当经过点时，取得最大值3当经过点时，取得最小值-3所以选D.9.若实数满足，且，则称与互补，记，那么是与互补A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件【答案】C解析：若实数满足，且，则与至少有一个为0，不妨设，则；反之，若，两边平方得，则与互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克【答案】D解析：因为，则，解得，所以，那么（太贝克），所以选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在展开式中含的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为，令，含的项的系数为，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）【答案】解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B，则A与B是对立事件，因为，所以，所以填.12.九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】解析：设该数列的首项为，公差为，依题意，即，解得，则，所以应该填.xy(y/)C/Ox/P/14.如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，.（）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为 ；（）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 .xy(y/)C/Ox/P/PH【答案】,解析：（）设点在平面内的射影的坐标为，则点的纵坐标和纵坐标相同，所以，过点作，垂足为，连结，则，横坐标，所以点在平面内的射影的坐标为；（）由（）得，所以代入曲线的方程，得，所以射影的方程填.15.给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示）【答案】解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为，由图可知，由此推断，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案，故分别填.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分10分）设的内角所对的边分别为.已知，.（）求的周长；（）求的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（）的周长为.（），,故为锐角，. 17（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得故函数的表达式为=（）依题意并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当，即时，等号成立所以，当时，在区间上取得最大值综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时18（本小题满分12分）ABCEA1C1B1如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合（）当时，求证；（）设二面角的大小为，的最小值本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.解析：19.（本小题满分13分）已知数列的前项和为，且满足：， N*，.（）求数列的通项公式； （）若存在 N*，使得，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.（）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分14分）（）已知函数，求函数的最大值；（）设，均为正数，证明：（1）若，则；（2）若=1，则。