2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，含答案）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则A BC D2下列命题中的假命题是A， B，C， D ，3极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是A圆、直线 B直线、圆C圆、圆 D直线、直线4在中，则等于A B C8 D165等于A B C D6在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c若，则Aab BabCa=b Da与b的大小关系不能确定7在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.158用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为A B2 C D1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g10如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为 11在区间上随机取一个数，则的概率为 12图2是求的值的程序框图，则正整数 13图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 开始否输出结束是图214过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为若梯形的面积为，则 15若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最大值；（）求函数的零点的集合.17（本小题满分12分）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（）求直方图中的值.（）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望.18（本小题满分12分）如图5所示，在正方体中，E是棱的中点.（）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论. 19（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间20.（本小题满分13分）已知函数对任意的，恒有.（）证明：当时，；（）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.21（本小题满分13分）数列中，是函数的极小值点.（）当时，求通项； （）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.D二、填空题9.171.8或148.2 10.6 11. 12.100 13.4 14.2 15.2 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解法2：由得，于是，或即.由可知；由可知.故函数的零点的集合为17（本小题满分12分）解：（）依题意及频率分布直方图知，解得.（）由题意知，.因此，.故随机变量的分布列为01230.7290.2430.0270.001的数学期望为.18（本小题满分12分）解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.（）依题意，得，所以.在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.设F是棱上的点，则.又，所以.而，于是为的中点，这说明在棱上存在点F(的中点)，使解法2：（）如图（a）所示，取的中点M，连结EM,BM.因为E是的中点，四边形为正方形，所以EMAD.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.（）在棱上存在点F，使.事实上，如图（b）所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，故.19（本小题满分13分）解：（）设边界曲线上点P的坐标为，当时，由题意知.当时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上.此时短半轴长.因而其方程为.故考察区域边界曲线（如图）的方程为.（）设过点的直线为，过点的直线为，则直线，的方程分别为.程为，与之间的距离为.又直线到和的最短距离，而，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为年，则由题设及等比数列求和公式，得，所以.故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.20（本小题满分13分）解：（）易知.由题设，对任意的，即恒成立，所以，从而.于是，且，因此.故当时，有.即当时，.当时，由（）知，.此时或0，从而恒成立.综上所述，M的最小值为21（本小题满分13分）解：易知.令.（1）若，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.故在取得极小值.由此猜测：当时，.下面先用数学归纳法证明：当时，.事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当时，成立，则由（2）知，从而，所以.故当时，成立.于是由（2）知，当时，而，因此.综上所述，当时，.（）存在，使数列是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的，都有，则.即数列是首项为，公比为3的等比数列，且.而要使，即对一切都成立，只需对一切都成立.记，则令，则.因此，当时，从而函数当时，可得数列不是等比数列.综上所述，存在，使数列是等比数列，且的取值范围为.