天津市南开区20192020学年度高三年级上学期期末考试数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集U1，2，3，4，集合S1，2，T2，3，则（US）T等于（）A2B3C4D2，3，42命题“x0（0，+），ln x0x01”的否定是（）Ax（0，+），ln xx1Bx（0，+），ln xx1Cx0（0，+），ln x0x01Dx0（0，+），ln x0x013下列函数中是偶函数，且在（0，+）上单调递增的是（）Ayx3Bylgx2Cy2xDy4已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S3+S52S4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件5设a120.2，b1og3，clg4，则a，b，c的大小关系是（）AacbBbcaCcabDcba6过点A（1，0），斜率为k的直线，被圆（x1）2+y24截得的弦长为2，则k的值为（）ABCD7函数ysincos（0x9）的最大值与最小值之和为（）A1B1C0D28已知点A（2，0），抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|（）A2：B1：2C1：D1：39四边形ABCD中，BC1，AC2，ABC90，ADC90，则的取值范围是（）A1，3B（3，1）C3，1D二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。10复数的共轭复数是 11曲线y在点（1，1）处的切线方程为 12四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB2，则此球的表面积等于 13设双曲线C经过点（2，2），且与x21具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 14已知正数x，y满足3，则当x 时，x+y的最小值是 15对于实数a和b，定义运算“*”：a*b，设f（x）（2x1）*（x1），若函数g（x）f（x）mx2（mR）恰有三个零点x1，x2，x3，则m的取值范围是 ；x1x2x3的取值范围是 三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bc1，cosA，ABC的面积为2（）求a及sinC的值；（）求cos（2A）的值17如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，AA1AB2BC2，3（）求证：AB1平面A1BD；（）求二面角ABDA1的余弦值；（）求点B1到平面A1BD的距离18（15分）已知椭圆C的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上，若右焦点到直线xy+20的距离为3（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C与直线ykx+m相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E（i）当k0，m0时，射线OE交直线x3于点D（3，n）（O为坐标原点），求k2+n2的最小值；（i）当k0，且|AM|AN|时，求m的取值范围19已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，且a13，b2a2，b5a3+3，b8a4（）求数列an的通项公式an；（）令cnlog2，证明：1（nN*，n2）；（）求（nN*）20已知函数f（x）lnxax（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）x2对x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围；（）当a1时，设g（x）xef（x）x1（e为自然对数的底）若正实数1，2满足1+21，x1，x2（0，+）（x1x2），证明：g（1x1+2x2）1g（x1）+2g（x2）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B2A3A4C5A6A7D8C9C二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。10i11 x+y2012 2413 ，y2x14，915 （0，）和（）三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bc1，cosA，sinA，ABC的面积为bcsinAbc2，bc6，b3，c2，a3再根据正弦定理可得 ，即，sinC（）sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，故 cos（2A）cos2Acossin2Asin17依题意，以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则，3，（）证明：，设平面A1BD的一个法向量为，则，令，则，即，AB1平面A1BD；（），设平面ABD的一个法向量为，则，令，则，又平面A1BD的一个法向量为，即二面角ABDA1的余弦值为；（）设点B1到平面A1BD的距离为d，则易知，而，点B1到平面A1BD的距离为18解（），设椭圆的右焦点（c，0），c0，由题意得：b1，3，a2b2+c2，解得：a23，b21，所以椭圆的方程：；（）i）设M（x，y），N（x，y），将直线与椭圆联立整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m230，36k2m24（1+3k2）（3m23）0，即m21+3k2，且x+x，y+yk（x+x）+2m，所以MN的中点E（，），所以射线OE：yx，与直线x3的交点（3，），所以n，所以n2+k2k22，当且仅当k21，k0，所以k1时n2+k2有最小值2ii）当k0，且|AM|AN|时，则AEMN，所以kAE，即，2m1+3k2，2mm2，解得0m2，所以m取值范围（0，2）19（）设数列an是公比为q的等比数列，数列bn是公差为d的等差数列，由a13，b2a2，b5a3+3，b8a4，可得b1+d3q，b1+4d3q2+3，b1+7d3q3，解得q2，d3，b13，则an32n1，bn3+3（n1）3n；（）证明：cnlog2log22n1n1，111；（）由，可设Tn，Tn，相减可得Tn2，化简可得20（）函数的定义域为x|x0，当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0解得，令f（x）0解得，故此时函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；（）f（x）x2对x（0，+）恒成立，即为对任意的x（0，+），都有，设，则，令G（x）1lnxx2（x0），则，G（x）在（0，+）上单调递减，且G（1）0，当x（0，1）时，G（x）0，F（x）0，F（x）单调递增；当x（1，+），G（x）0，F（x）0，F（x）单调递减，F（x）maxF（1）1，实数a的取值范围为1，+）（）证明：当a1时，g（x）xe（lnxx）x1xexlnxx1exx1，g（x）ex10（x0），不妨设0x1x2，下先证：存在（x1，x2），使得g（x2）g（x1）g（）（x2x1），构造函数，显然H（x1）H（x2），且，则由导数的几何意义可知，存在（x1，x2），使得，即存在（x1，x2），使得g（x2）g（x1）g（）（x2x1），又g（x）ex1为增函数，g（x2）g（x1）g（）（x2x1）g（x1）（x2x1），即g（x2）g（x1）+g（x1）（x2x1），设x31x1+2x2（1+20），则x1x3（11）x12x2，x2x3（12）x21x1，g（x1）g（x3）+g（x3）（x1x3）g（x3）+g（x3）（11）x12x2，g（x2）g（x3）+g（x3）（x2x3）g（x3）+g（x3）（12）x21x1，由1+2得，1g（x1）+2g（x2）g（x3）g（1x1+2x2），即g（1x1+2x2）1g（x1）+2g（x2）7第页