南昌二中20192020学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部为（ ） A B C D2用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容应该是（ ）A都不能被5整除B都能被5整除C不都能被5整除D能被5整除3函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）A0BC1D4下列命题中错误的是（ ）A若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B命题“若，则或”为真命题C命题“若函数的导函数满足，则是函数的极值点”的逆否命题是真命题D命题p：，则p为 5.直线的倾斜角的取值范围是（）A BC D 6若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7函数在区间上的最大值是（ ）ABCD8若，则的大小关系为( )A B C D9甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A乙、丁可以知道自己的成绩B乙可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D丁可以知道四人的成绩10.下列命题为真命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D311.双曲线的左,右顶点分别是，是上任意一点，直线分别与直线交于，则的最小值是（ ）A B C2 D3 12若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数，则等于_.14. _. 15已知点P（x，y）是抛物线y24x上任意一点，Q是圆（x+2）2+（y4）21上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_16.已知函数.下列说法正确的是_.有且仅有一个极值点；有零点；若极小值点为，则；若极小值点为，则.三、解答题：本大题共6个题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）命题，命题方程表示焦点在轴上的椭圆（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围18（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线为（为参数）.在以为原点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线与除极点外的一个交点为，设直线经过点，且倾斜角为，直线与曲线的两个交点为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）求的值19（本小题满分12分）数列的前项和为，且满足(1)求，的值；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论20（本小题满分12分） 设函数（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）方程有唯一实数解，求正数的值21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(，0)，直线PA与PB的斜率之积为(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过定点 22.（本小题满分12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：高二数学（理）期末考试参考答案1复数的虚部为（ ） A B C D【答案】B2用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容应该是（ ）A都不能被5整除B都能被5整除C不都能被5整除D能被5整除【答案】A3函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）A0BC1D【答案】B试题分析：，令，则倾斜角为.4下列命题中错误的是（ ）A若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B命题“若，则或”为真命题C命题“若函数的导函数满足，则是函数的极值点”的逆否命题是真命题D命题p：，则p为 【答案】C5.直线的倾斜角的取值范围是（D）A BC D 6若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C7函数在区间上的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】.8若，则的大小关系为( )ABCD【答案】B依题意，故，所以选B.9甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A乙、丁可以知道自己的成绩B乙可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D丁可以知道四人的成绩【答案】A10.下列命题为真命题的个数是（ C ） A0 B1 C2 D311.双曲线的左,右顶点分别是，是上任意一点，直线分别与直线交于，则的最小值是（ B ）A B C2 D3 12若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D13已知函数，则等于_.详解：函数，将代入，得14._. 15已知点P（x，y）是抛物线y24x上任意一点，Q是圆（x+2）2+（y4）21上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_【答案】3画出图像,设焦点为,由抛物线的定义有,故.又当且仅当共线且为与圆的交点时取最小值为 .故的最小值为.又当为线段与抛物线的交点时取最小值,此时16.已知函数.下列说法正确的是_.有且仅有一个极值点；有零点；若极小值点为，则若极小值点为，则17命题，命题方程表示焦点在轴上的椭圆（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围试题解析：（1）关于命题，时，显然不成立，时成立，恒成立 时，只需即可，解得：，故为真时：； 关于命题，解得： ， 命题“或”为假命题，即均为假命题，则； （2）非，所以 18在平面直角坐标系中，曲线为（为参数）.在以为原点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线与除极点外的一个交点为，设直线经过点，且倾斜角为，直线与曲线的两个交点为.（1）求普通方程和的直角坐标方程；（2）求的值.18.试题分析：（1）的普通方程是. 由得，所以的直角坐标方程是（2）联立与得或，不是极点，. 依题意，直线的参数方程可以表示为 （为参数），代入得,设点的参数是，则， 19数列的前项和为，且满足(1)求，的值；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论解：（1）当时， 又，同理，；（2）猜想 下面用数学归纳法证明这个结论.当时，结论成立.假设时结论成立，即，当时，即当时结论成立.由知对任意的正整数n都成立.20(本小题满分12分) 设函数（）当时，恒成立，求范围；（）方程有唯一实数解，求正数的值20【解析】（）当时， 解得或（舍去）当时，单调递增，当时，单调递减 所以的最大值为故 （）方程即解法1：设，解得(0舍去)，在单调递减，在单调递增，最小值为 因为有唯一实数解，有唯一零点，所以 由得，因为单调递增，且，所以 . 从而 解法2：分离变量 21. 在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(，0)，直线PA与PB的斜率之积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过定点解：(1)由题知：.化简得y21(y0)(4分)(2)方法1：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y2)，l：xmy1，代入y21(y0)整理得(m22)y22my10.(7分)y1y2，y1y2，MQ的方程为yy1(xx1)，(10分)令y0，得xx1my1112，直线MQ过定点(2,0)(12分)方法2：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y2)，l：yk(x1)，代入y21(y0)整理得(12k2)x24k2x2k220，(7分)x1x2，x1x2，MQ的方程为yy1(xx1)，(10分)令y0，得xx1x12.直线MQ过定点(2,0)(12分) 22已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：解：（1）由得.当即时，所以在上单调递增当即时，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增（2）要证成立，只需证成立，即证.现证：.设则，所以在上单调递减，在上单调递增所以.因为，所以，则，即，当且仅当，时取等号再证：.设，则.所以在上单调递增，则，即.因为，所以当且仅当时取等号，又与两个不等式的等号不能同时取到，即，所以