江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试数学试题20199一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A，B，则AB 答案：(1，0考点：集合的运算解析：(1，02已知复数z（i是虚数单位），则z的虚部是 答案：2考点：虚数解析：z，所以则z的虚部是23对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示根据标准，单件产品质量在区间25，30)内为一等品，在区间15，20)，20，25)和30，35)内为二等品，其余为三等品则样本中三等品件数为 答案：200考点：统计，抽样调查解析：2004现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是 答案：考点：古典概型解析：将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123，132，213，231，312，321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是5函数的定义域为 答案：，)考点：函数的定义域解析：由，解得，所以原函数定义域为，)6运行如图所示的伪代码，其结果为 答案：17考点：算法初步，伪代码解析：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S11357的值，所以S11357177在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为 答案：考点：双曲线的性质解析：由题意可知双曲线的右顶点为(a，0)，渐近线方程为，根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为：，即可得方程，解得a220，所以双曲线C的方程为8如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 答案：考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，S圆柱2R2R2R26R2，S球4R2所以9函数(A0，0)的部分图象如图所示若函数在区间m，n上的值域为，2，则nm的最小值是 答案：3考点：三角函数的图像与性质解析：由函数的最大值为2，可得A2由4，可得由五点法作图可得 2，0，函数由于函数在2，5上是减函数，x2时，2，x5时，故nm的最小值是52310在公比为q且各项均为正数的等比数列中，为的前n项和若，且，则首项的值为 答案：考点：等比数列解析：因为，所以，则，将代入可得：，因为q0，所以q2，从而首项的值为11已知是定义在区间(1，1)上的奇函数，当x0时，已知m满足不等式，则实数m的取值范围为 答案：(0，1)考点：函数性质综合解析：当x0时，可得在(1，0)单调递减；由是定义在区间(1，1)上的奇函数，可得也是区间(1，1)上的减函数 因为，所以，可得如下不等式组： ，得，解得：所以实数m的取值范围为(0，1)12已知圆O：x2y24和圆O外一点P(，)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且AOB120若点C(8，0)和点P满足POPC，则的范围是 答案：考点：圆的方程解析：首先求得PO4，设P(，)，则，由POPC，得PO2PC2，则x2y22(x8)2y2，化简得，由得：，根据44，求得13如图，已知梯形ABCD，ADBC，取BD中点E，连接AE并延长交CD于F，若，则 答案：考点：平面向量的数量积解析：根据题意可得， ，所以由，得 ，所以，所以14已知函数，若，且，则的取值范围是 答案：，)考点：函数与方程解析：设，则，得：，所以12 令，当12，0，在(1，2)上单调递减，当2，0，在(2，)上单调递增，当x2时，有最小值为，所以，即的取值范围是，)二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PAAD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点（1）证明：EF平面PAC；（2）证明：AFPC解：16（本小题满分14分）在ABC中，A，AB6，AC（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，ADBD，求ABD的面积解：（1）A，AB6，AC 由余弦定理可得：BC2AB2AC22ABACcosA90BC由正弦定理可得：（2）A，B为锐角 cosB 由余弦定理：AD2AB2BD22ABBDcosB 因为ADBD，所以BD 所以SABDABBDsinB3 所以ABD的面积为317（本小题满分14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且xy，若剪去的正十字形部分面积为4dm2（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值解：（1）由题意可得：，则， ，0x2 y关于x的函数解析式，定义域为(0，2)（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知，当且仅当时，正十字形的外接圆直径d最小，则半径最小值为，正十字形的外接圆面积最小值为 答：当x取，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为18（本小题满分16分）已知椭圆C：(ab0)，左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，椭圆离心率为，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A在B的左侧）（1）求椭圆C的方程；（2）若B是AP的中点，求直线l的方程；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点解：（1）左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0) c1， 椭圆离心率为 a2 b2a2c2413 椭圆C的方程为（2）设B(，)，根据B是AP的中点，得A(，) 由于A、B两点都在椭圆上，可得方程组： ，解得或， 所以B(，)或(，) 设直线l的斜率为k，则k或，即k 所以直线l的方程为：， 化为一般式为：或（3）设A(，)，B(，)，则E(，) 设D为直线AE与x轴的焦点，且D(d，0) 根据A、D、E三点共线得：，解得 设直线l为：，其中k0 则，代入 得，化简得：所以，则所以直线AE与x轴相交于定点(1，0)19（本小题满分16分）在数列中，已知，（1）若（k为常数），求k；（2）若求证：数列为等比数列；记，且数列的前n项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围解：（1）k的值为1；（2） 20（本小题满分16分）已知函数（1）求曲线在x1处的切线方程；（2）函数在区间(k，k1)(kN)上有零点，求k的值；（3）记函数，设，()是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的最大值解：（1） 则 又 曲线在x1处的切线方程y1（2）k3（3） 所以实数k的最大值为