2019-2020学年辽宁省朝阳市高一上学期期中联考数学试题一、单选题1已知集合，则( )ABCD【答案】A【解析】先解出不等式,可得,再利用交集的定义求解即可【详解】由题,所以,故选:A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题2方程组的解集为( )ABCD【答案】C【解析】将代入中,求解即可【详解】由,得或,故所求方程组的解集为,故选:C【点睛】本题考查列举法表示解集,考查解方程组3命题“，”的否定是( )A，B，C，D，【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题,进而得到答案【详解】由题, “,”的否定是,故选:C【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题4已知，则( )ABCD【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数的性质可知,即可得到结果【详解】由题,所以,故选:D【点睛】本题考查指数、对数比较大小,借助中间值是解题关键5已知是非空集合，：，：，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据集合的运算关系分析两个条件的推出关系即可得解.【详解】若，则一定成立；若，则，则不一定是空集.故是的充分不必要条件.故选：A【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握充分条件与必要条件之间的推出关系，准确辨析即可得解.6函数的零点所在的大致区间为( )ABCD【答案】D【解析】显然函数连续,利用零点存在性定理判断即可【详解】由题,在上连续,因为,所以,所以的零点所在的大致区间为故选：D【点睛】本题考查零点所在区间问题,考查零点存在性定理的应用7函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】先判断的奇偶性，由此可排除C与D，再求，令其跟1比较，据此可排除C，从而可得到正确选项.【详解】因为，所以为奇函数，排除C与D.因为，所以排除B，所以A正确.故选A.【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的常用方法，属中档题.8若函数在上的最小值为则A或BC或D【答案】B【解析】首先确定对称轴为，分别在、三种情况下根据函数单调性确定最小值点，利用最小值构造方程求得结果.【详解】由题意得：对称轴为当时，在上单调递减，解得：（舍）当时，在上单调递减，在上单调递增，解得：（舍）或当时，在上单调递增，解得：（舍）综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查根据二次函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据对称轴所在位置得到最小值点，从而构造方程求得结果.二、多选题9若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）A0B1CD3【答案】BC【解析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项.【详解】当时，为增函数，所以当时，也为增函数，所以，解得.故选：BC【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.10已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则（ ）ABCD【答案】CD【解析】根据得在上是增函数，结合是偶函数，得关于直线对称，在上是增函数，即可判定选项.【详解】因为对任意的，有，不妨设，因为，所以，所以在上是增函数，所以在上是增函数.因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称，所以，则.故选：CD【点睛】此题考查函数单调性的判断，根据奇偶性判断函数的对称性，对性质综合应用进行函数值的大小比较.11已知函数,若关于x的方程有8个不同的实根，则a的值可能为（ ）.A-6B8C9D12【答案】CD【解析】分的不同进行讨论再数形结合分析即可.【详解】当时, 仅一根,故有8个不同的实根不可能成立.当时, 画出图象,当时, ,又有8个不同的实根,故有三根,且.故.又有三根, 有两根,且满足.综上可知,.故选：CD【点睛】本题主要考查了数形结合以及分类讨论求解的方法,需要根据题意将复合函数零点分步讨论,属于中等题型.三、填空题12函数的最小值是_.【答案】【解析】先求得定义域,再根据函数的单调性求得最小值【详解】由题,可得,所以的定义域是,因为单调递增,单调递减,所以单调递增,所以当时,取得的最小值是,故答案为:【点睛】本题考查利用函数的单调性求函数的最值,求最值时需注意函数的定义域13已知，则的最小值为_.【答案】7【解析】根据题意，利用基本不等式或勾型函数求最值.【详解】法一：，当且仅当，即时取等号.法二：根据勾型函数性质在递减，在递增，时取得最小值7.故答案为：7【点睛】此题考查求函数的最值，根据函数单调性求最值，或根据基本不等式求最值，注意考虑最值取得的条件.14不等式组的解集为_.【答案】【解析】分别求解不等式和,再由两个不等式的解集求交集即可【详解】由题,因为,则；因为,所以或,则或,故原不等式组的解集为,故答案为:【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查解含绝对值的不等式15已知函数，若函数，则_，的最大值为_.【答案】0 6 【解析】计算出，根据函数关系即可得值；作出函数图象即可得到最值.【详解】因为，所以.画出函数的图象（实线部分），由图象可得，当时，取得最大值6.故答案为：0；6【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义求解，数形结合处理最值更加直观，减少计算量.四、解答题16已知集，集合.(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）先求得,将代入可得,再由交集、并集、补集的定义求解即可；（2）若,则,可得,进而求解即可【详解】(1)由题,当时,所以,因为或,所以(2)因为,所以,又因为,所以,解得,所以实数的取值范围是【点睛】本题考查集合的运算,考查已知集合的包含关系求参数17(1)用分析法证明:.(2)已知，证明:.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）利用平方法证明即可；（2）先利用均值定理证得,再在该不等式两边加上,进而证明即可【详解】证明:(1)欲证,只需证,即证,只需证,因为显然成立,所以成立(2)因为,在不等式两边同时加上,得,所以【点睛】本题考查不等式的证明,考查利用均值定理证明不等式18已知函数是定义在上的奇函数，当时，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】(1)若，则，先求出时函数的解析式，即得函数的解析式；（2）解不等式组或即得解.【详解】(1)若，则，因为当时，所以.因为是奇函数，所以.因为是定义在上的奇函数，所以.故.(2)因为，所以或解得或.故不等式的解集为.【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查分段函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式【答案】（1）；（2）【解析】（1）采用换元法，令，解得，代入可求得，进而得到；（2）采用构造方程组法，将替换为，可得到关于和的方程组，解方程组求得结果.【详解】（1）由题意得：定义域为设，则 （2）由得：联立消去得：【点睛】本题考查函数解析式中的换元法和构造方程组法的应用，关键是能够熟练掌握不同的形式所对应的求解解析式的方法.20某市有一面积为12000平方米的三角形地块，其中边长为200米，现计划建一个如图所示的长方形停车场，停车场的四个顶点都在的三条边上，其余的地面全部绿化.若建停车场的费用为180元/平方米，绿化的费用为60元/平方米，设米，建设工程的总费用为元.（1）求关于的函数表达式：（2）求停车场面积最大时的值，并求此时的工程总费用.【答案】（1），.（2）；144万元【解析】（1）根据三角形面积公式求高，再根据三角形相似列出自变量与长方形宽的等式，即可求解.（2）由（1）列出停车场面积S与自变量的关系式，求解面积最大值时值，代入即可求解工程总费用.【详解】解：（1）由，得，由，得，解得.所以停车场的面积，所以剩余面积为，所以，.（2）由（1）知停车场的面积，当时，取得最大值，此时，即停车场面积最大时的工程总费用为144万元.【点睛】本题考查：（1）利用三角形相关知识解决实际问题的能力（2）实际应用中二次函数最值问题，属于中等题型.21已知是定义在上的函数，且.若对任意，恒成立，且当时，.(1)试判断函数上的单调性，并用定义法证明；(2)求不等式的解集.【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)【解析】（1）设,则,则,利用可得,进而判断与1的大小关系,即可证明；（2）转化为,利用赋值法可得,进而由函数单调性求解即可【详解】(1)函数在上为增函数,证明:设,则,因为当时,所以,因为,所以由得,所以,又由条件知,所以,所以函数在上为增函数(2)令,可得,则,由题,所以等价于,即,由(1)知函数在上为增函数,所以,整理得,即,所以,解得,故原不等式的解集为【点睛】本题考查定义法证明函数的单调性,考查利用单调性解抽象函数不等式问题第 15 页 共 15 页