2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】对于A选项，通过反比例函数的单调性可说明问题；B可举出特例；C原式等价于不正确；D等价于a0时是减函数，故,故A正确；当c=0时，故B不正确；C. 等价于，不合题意；D.等价于ab,不合题意.故答案为A.【点睛】这个题目考查了不等式的大小关系的判断，一般比较大小的题目，可以通过不等式的性质来判断大小，也可通过代特值，排除选项；也可构造函数，通过函数的单调性得到大小关系.2在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（ ）ABC1D【答案】D【解析】根据正弦定理边化角求解即可.【详解】由正弦定理有.又,故.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.3已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.【考点】空间点线面位置关系4设等差数列的前项和为，若，则( )A20B23C24D28【答案】D【解析】将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.5如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|的范围为()A0,)B0,2)C1,)D1,2)【答案】A【解析】设的夹角为，则cos1，0），|2=+2=2+2cos即可【详解】设的夹角为,则cos -1,0),|2=+2=2+2cos 0,2),故|的范围为0,).答案A【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（ ）A192里B48里C24里D96里【答案】B【解析】由题意可得每天所走的步数构成公比为的等比数列，利用等比数列前项和公式列方程求出首项，进而可得第三天的步数.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列， 由等比数列的求和公式可得：，解得：，故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，关键是要理解题目的意思，是基础题.7已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）ABCD都不对【答案】B【解析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得，再由球的表面积公式，即可求解【详解】设球的半径为，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得，解得，所以球的表面积为.故选：B【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8若在中，则此三角形的形状是( )A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【答案】B【解析】因为是三角形的内角，所以有即再通过三角变换解得，最终得出结果【详解】，因为与不为0，所以即故选B【点睛】本题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是中的不可以直接消去，要考虑到的情况9已知函数f(x)=sin(-x)cos(-x)+sin(+x)cos图象上的一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B与C,则=()A9+B9-C4+D4-【答案】D【解析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），结合正弦函数图像特点可得A、B、C的坐标，可得向量的坐标，计算可得【详解】f(x)=sin xcos x-sin2x=sin 2x-sin 2x+cos 2x-=sin,因此f(x)最大值为,最小值为-.设A,则B,C,于是,故=4-.故答案为D.【点睛】本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.10的内角的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。11在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.12已知函数的图像经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由图象经过点和可得，结合，可得，由可得，令，在区间上有唯一零点，等价于在上有唯一解，的图象时有一个交点，利用数形结合可得结果.【详解】函数 的图象经过点和.所以，得，故，因为，所以.由，得，因为，故，所以，从而当时，令，在区间上有唯一零点，等价于在上有唯一解，的图象时有一个交点，故由正弦函数图象可得或，解得,故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数的解析式，函数零点与方程的根的关系，属于难题.求三角函数的解析式时，利用最值求出 ,先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.二、填空题13已知，求的最小值_【答案】【解析】化简，利用基本不等式可得结果.【详解】，当且仅当，即时取等号，函数的最小值为,故答案为.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为_【答案】【解析】求出直线x-y-1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心C坐标，根据|AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可【详解】直线xy1=0的斜率为1，过点B直径所在直线方程斜率为1，B(2,1)，此直线方程为y1=(x2)，即x+y3=0，设圆心C坐标为(a,3a)，|AC|=|BC|,即，解得：a=3，则圆C方程为.【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系，属于基础题.15记为数列的前项和，若，则_【答案】【解析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.【详解】根据，可得，两式相减得，即，当时，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆柱的表面积_.【答案】【解析】根据轴截面中的关系计算圆柱的半径再求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S,底面半径为2母线长为4的圆锥的高为,则圆柱的上底面为中截面,可得 ,故答案为：【点睛】本题主要考查了圆锥中内切圆柱的问题与轴截面的有关计算.属于基础题.三、解答题17已知向量，.（1）若，求；（2）当时，求的最值.【答案】（1）-2.（2）最小值,最大值.【解析】(1)根据向量平行的坐标公式列式化简即可.(2)化简再根据角度的范围求解即可.【详解】(1)由得,所以(2)又,故.故.故最小值,最大值【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表达与根据角度的范围求解三角函数最值的问题,属于中等题.18已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求【答案】(1), (2)【解析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于与的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设的公差为d，的公比为q，由得d+q=3，由得2d+q2=6, 解得d=1,q=2.所以的通项公式为；（2）由得q2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S3=-6。【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式与求和公式，正确理解与运用公式是解题的关键，注意对所求的结果进行正确的取舍.19已知分别是的三个内角的对边，是的面积，且.（1）求角的大小；