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2020年普通高考数学科一轮复习精品学案第29讲 等比数列一课标要求:1通过实例,理解等比数列的概念;2探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式;3能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。二命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位,是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用,对基本的运算要求比较高,解答题大多以数列知识为工具。预测2020年高考对本讲的考察为:(1)题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的12道客观题目;(2)关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点;(3)解决问题时注意数学思想的应用,象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等,它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三要点精讲1等比数列定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即:数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,5,。(注意:“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零)2等比数列通项公式为:。说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比时该数列既是等比数列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知:若为等比数列,则。3等比中项如果在中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。4等比数列前n项和公式一般地,设等比数列的前n项和是,当时, 或;当q=1时,(错位相减法)。说明:(1)和各已知三个可求第四个;(2)注意求和公式中是,通项公式中是不要混淆;(3)应用求和公式时,必要时应讨论的情况。四典例解析题型1:等比数列的概念例1“公差为0的等差数列是等比数列”;“公比为的等比数列一定是递减数列”;“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”;“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”,以上四个命题中,正确的有( )A1个 B2个 C3个 D4个解析:四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列;命题2中可知an+1=an,an+1an未必成立,当首项a10时,anan,即an+1an,此时该数列为递增数列;命题3中,若a=b=0,cR,此时有,但数列a,b,c不是等比数列,所以应是必要而不充分条件,若将条件改为b=,则成为不必要也不充分条件。点评:该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论,为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2命题1:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1),则数列an是等比数列;命题2:若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0),则数列an是等差数列;命题3:若数列an的前n项和Sn=nan,则数列an既是等差数列,又是等比数列;上述三个命题中,真命题有( )A0个 B1个 C2个 D3个解析: 由命题1得,a1=a+b,当n2时,an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比数列,则=a,即=a,所以只有当b=1且a0时,此数列才是等比数列。由命题2得,a1=a+b+c,当n2时,an=SnSn1=2na+ba,若an是等差数列,则a2a1=2a,即2ac=2a,所以只有当c=0时,数列an才是等差数列。由命题3得,a1=a1,当n2时,an=SnSn1=a1,显然an是一个常数列,即公差为0的等差数列,因此只有当a10;即a1时数列an才又是等比数列。点评:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,上述三个命题均涉及到Sn与an的关系,它们是an=,正确判断数列an是等差数列或等比数列,都必须用上述关系式,尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题,选择A。题型2:等比数列的判定例3()已知数列cn,其中cn2n3n,且数列cn1pcn为等比数列,求常数p;()设an、bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列cn不是等比数列。解析:()解:因为cn1pcn是等比数列,故有:(cn1pcn)2(cn2pcn1)(cnpcn1),将cn2n3n代入上式,得:2n13n1p(2n3n)22n23n2p(2n13n1)2n3np(2n13n1),即(2p)2n(3p)3n2(2p)2n1(3p)3n1(2p)2n1(3p)3n1,整理得(2p)(3p)2n3n0,解得p=2或p=3。()证明:设an、bn的公比分别为p、q,pq,cn=an+bn。为证cn不是等比数列只需证c22c1c3。事实上,c22(a1pb1q)2a12p2b12q22a1b1pq,c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)a12p2b12q2a1b1(p2q2),由于pq,p2q22pq,又a1、b1不为零,因此c22c1c3,故cn不是等比数列。点评:本题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力。例4如图31,在边长为l的等边ABC中,圆O1为ABC的图31内切圆,圆O2与圆O1外切,且与AB,BC相切,圆On+1与圆On外切,且与AB、BC相切,如此无限继续下去.记圆On的面积为an(nN*),证明an是等比数列;证明:记rn为圆On的半径,则r1=tan30=。=sin30=,所以rn=rn1(n2),于是a1=r12=,故an成等比数列。点评:该题考察实际问题的判定,需要对实际问题情景进行分析,最终对应数值关系建立模型加以解析。题型3:等比数列的通项公式及应用例5一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列。解析:设所求的等比数列为a,aq,aq2;则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);解得a=2,q=3或a=,q=5;故所求的等比数列为2,6,18或,。点评:第一种解法利用等比数列的基本量,先求公比,后求其它量,这是解等差数列、等比数列的常用方法,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算较繁。例6已知正项数列,其前项和满足且成等比数列,求数列的通项解析:10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3。又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0an+an10 , anan1=5 (n2)。当a1=3时,a3=13,a15=73,a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时,,a3=12, a15=72,有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。点评:该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系,最终求得结果。题型4:等比数列的求和公式及应用例7(1)在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( )A B C D(2)设,则等于( )AB C D(3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S3S62S9,求数列的公比q;解析:(1)因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则即,所以,故选择答案C。(2)D;(3)解:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。因a10,得S3+S62S9,显然q=1与题设矛盾,故q1。由S3+S6=2S9,得,整理得q3(2q6q31)=0,由q0,得2q6q31=0,从而(2q31)(q31)=0,因q31,故q3=,所以q=。点评:对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式,对应好首项和公比求出最终结果即可。例8(1)设an为等差数列,bn为等比数列,a1b11,a2a4b3,b2b4a3分别求出an及bn的前10项的和S10及T10;(2)在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,an,使这n2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,bn,使这n2个数成等差数列.记Ana1a2a3an,Bnb1b2b3bn.()求数列An和Bn的通项;()当n7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论。(3)已知an是由非负整数组成的数列,满足a10,a23,an1an(an12)(an22),n3,4,5,()求a3;()证明anan22,n3,4,5,;()求an的通项公式及其前n项和Sn。解析:(1)an为等差数列,bn为等比数列,a2a42a3,b2b4b32已知a2a4b3,b2b4a3,b32a3,a3b32得 b32b32b30 b3,a3由a11,a3知an的公差为d,S1010a1由b11,b3知bn的公比为q或q当q时,当q时,。(2)()设公比为q,公差为d,等比数列1,a1,a2,an,2,等差数列1,b1,b2,bn,2。则A1a11q A21q1q2 A31q1q21q3又an21qn12得qn12,Anqq2qnq(n1,2,3)又bn21(n1)d2 (n1)d1B1b11d B2b2b11d12d Bn1d1ndn()AnBn,当n7时证明:当n7时,2358An Bn7,AnBn设当nk时,AnBn,则当nk1时,又Ak+1且AkBk Ak1kAk1Bk1又k8,9,10 Ak1Bk10,综上所述,AnBn成立.(3)()解:由题设得a3a410,且a3、a4均为非负整数,所以a3的可能的值为1,2,5,10若a31,则a410,a5,与题设矛盾若a35,则a42,a5,与题设矛盾若a310,则a41,a560,a6,与题设矛盾.所以a32.()用数学归纳法证明:当n3,a3a12,等式成立;假设当nk(k3)时等式成立,即akak22,由题设ak1ak(ak12)(ak22),因为akak220,所以ak1ak12,也就是说,当nk1时,等式ak1
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