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2020年长郡中学高三文科数学第一次模拟试卷命题人:姜海平一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分1命题“设a、b、”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A0个B1个C2个D3个2 的图象大致是下面的 ( )3下列命题正确的是 ()A函数在区间内单调递增B函数的最小正周期为C函数的图像是关于点成中心对称的图形D函数的图像是关于直线成轴对称的图形4已知条件p: k=,条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如右图的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有 ( ) A100辆B200辆 C300辆 D400辆6.一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两垂直,且长度分别为1,3,则这个三棱锥外接球的表面积为 ( ) A. 16 B. 32 C. 36 D. 647已知O为坐标原点,P是曲线:上到直线:距离最小的点,且直线OP是双曲线: 的一条渐近线,则与的公共点个数是( )B学科网A2 B0 学科网C1 D不能确定,与、的值有关学科网8已知函数是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意实数a,b满足 考察下列结论:;为奇函数;数列为等比数列;数列为等差数列.其中正确命题的个数为( )A1B2C3D4二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分35分.9函数的定义域是 . 10若点B分的比为,且有,则等于 .11在的二项展开式中,若常数项为,则其展开式的二项式系数之和等于_ .(用数字作答)12已知满足,则的最小值是_.13. 集合A是集合B的4元素子集,最小元素为3,最大元素不小于8,则这样的集合A有 个(用数字作答). 14在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号)矩形;不是矩形的平行四边形;有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;每个面都是等腰三角形的四面体;每个面都是直角三角形的四面体15设定义域为D,若满足:(1)在D 内是单调函数,;(2)存在区间,使在时值域也为,则称为D上的闭函数.当 是闭函数时,k的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,满分75分, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)已知向量 ()求、的值; ()设函数),求的最大值、最小值及 取得最大值、最小值时x的值.17. (本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,(I)求证:平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦;(III)求点E到平面ACD的距离18. (本小题满分12分)一项“过关游戏”规则规定: 在第n 关要抛掷骰子n次, 若这n次抛掷所出现的点数之和大于, 则算过关. ()求在这项游戏中第三关过关的概率是多少?()求某人只过第一关的概率.19(本小题满分13分)已知圆,定点,点为圆上的动点,点在上,点在上,且满足(I)求点的轨迹的方程;(II)过点作直线,与曲线交于,两点,是坐标原点,设 是否存在这样的直线,使四边形的对角线相等(即)?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.20(本小题满分13分)若实数a0,函数,(I)令,求函数的单调区间;()若在区间(0,)上至少存在一点x0,使得成立,求实数a的取值范围21. (本题满分13分)由函数确定数列,函数的反函数能确定数列,若对于任意都有,则称数列是数列的“自反函数列”.(I)设函数,若由函数确定的数列的自反数列为,求;()已知正数数列的前n项和,写出表达式,并证明你的结论;()在(I)和()的条件下,当时,设,是数列的前项和,且恒成立,求的取值范围. 长郡中学09届高三数学文科第一次模拟试卷参考答案一B B C A C A B D二 9. 10.1 11. 64 12.3 13.31 14. 15. 三16. 解:(), 2分式平方得: 3分联立、,解得.6分 (2).8分, 10分12分17. 解:方法一:(I)证明:连结OC1分在中,由已知可得而即3分 又 平面4分(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。5分 在中,6分是直角斜边AC上的中线,7分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为;8分(III)解:设点E到平面ACD的距离为9分在中, 10分而11分点E到平面ACD的距离为12分方法二:(I)同方法一4分(II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则6分7分9分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为;8分(III)解:设平面ACD的法向量为则9分令得是平面ACD的一个法向量10分又点E到平面ACD的距离12分18. 解:()设第三关不过关事件为A, 则第三关过关事件为 .由题设可知: 事件A是指第三关出现点数之和没有大于5.因为第三关出现点数之和为3,4, 5的次数分别为1,3,6知:P(A)= = , P()=1 = . 6分 ()第一关不过关的事件为B, 第二关不过关的事件为C.则某人只过第一关的概率为P=P(C), 依题意知 P(B)= = , P( )= , 又P(C)= = P(C) = = . 12分19. 解:(I)Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长,半焦距,短半轴长b=2,点G的轨迹方程是 5分 ()因为,所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得|=|,则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由矛盾,故l的斜率存在.7分设l的方程为 9分 10分 把、代入 12分 存在直线使得四边形OASB的对角线相等. 13分20. 解:(I) 2分 令得:x = 2或x = 1当a 0时,列表如下,x(,2)2(2,1)1(1,)0h(x)减20a2增7a2减h(x)的单调递减区间是(,2)和(1,),单调递增区间是(2,1)4分当a 0时,函数在区间(0,1)上递增,在(1,)上递减,要满足条件应有函数的极大值,即10分当a 0时,函数在区间(0,1)上递减,在(1,)上递增,且极小值为此时在(0,)上至少存在一解; 12分综上,实数a的取值范围为13分21. 解:(I)由题意得,. 4分 ()正数数列的前项和,解之得,当时,6分,以上各式累加,得, 又也满足上式,故 9分()在(I)和()的条件下,当时, 由是数列的前项和综上 11分因为恒成立,所以小于的最小值,显然的最小值在时取得,即 满足的条件是解得 13分
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