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2020年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)1定义集合运算: .设,则集合的所有元素之和为( )A16 B18 C 20 D222已知是等比数列,则的取值范围是( )A B C D 35名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为( )A B C D4已知、为非零的不共线的向量,设条件;条件对一切,不等式恒成立则是的( )A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分而且必要条件D既不充分又不必要条件5设函数定义在上,给出下述三个命题:满足条件的函数图象关于点对称;满足条件的函数图象关于直线对称;函数与在同一坐标系中,其图象关于直线对称.其中,真命题的个数是 ( )A0 B1 C2 D36连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和,、分别为、的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:弦、可能相交于点 弦、可能相交于点的最大值为5 的最小值为1其中真命题为( )A B C D7设,,则的大小关系是()ABCD8设函数,且,则( )A2 B1 C0 D二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)9在平面直角坐标系中,定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等,其中实数、满足、,则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 10已知集合,若点、点满足且,则称点优于. 如果集合中的点满足:不存在中的其它点优于,则所有这样的点构成的集合为11多项式的展开式在合并同类项后,的系数为 .(用数字作答)12一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为 .13将一个棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有 不同的染法.(用数字作答)14某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,当时,其中,表示实数的整数部分,例如, 按此方案,第2020棵树种植点的坐标为 .三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)15(本小题满分14分)设实数,求证: 其中等号当且仅当或成立,为正实数.16(本小题满分14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军)对于每局比赛,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”试求此项赛事爆出冷门的概率17(本小题满分16分)已知函数在区间上的最小值为,令,求证:18(本小题满分18分)过直线上的点作椭圆的切线、,切点分别为、,联结 (1)当点在直线上运动时,证明:直线恒过定点; (2)当时,定点平分线段参考答案说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)1 解:集合的元素:,故集合的所有元素之和为16. 选A.2 解: 设的公比为,则,进而.所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列. .显然,. 选C.3 解:5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:第1类 ,一个场馆去3人,剩下两场馆各去1人,此类的方法数为种;第2类,一场馆去1人,剩下两场馆各2人,此类的方法数为种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.选D.4 解:设,则表示与共线的任一向量,表示点到直线上任一点的距离,而表示点到的距离. 当时,由点与直线之间垂直距离最短知,即对一切,不等式恒成立反之,如果恒成立,则,故必为点到的垂直距离,即. 选C.5 解:用代替中的,得.如果点 在的图象上,则,即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然,故是真命题.用代替中的,得.如果点在的图象上,则,即点关于点的对称点也在的图象上,故是真命题.由是真命题,不难推知也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6 解:假设相交于点,则共面,所以四点共圆,而过圆的弦的中点的弦的长度显然有,所以是错的容易证明,当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时,最大为,故对当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时,最小为1,故对.显然是对的显然是对的.故选7 解:因为,所以,;又,故故选B.8 解:由,令,则 为奇函数且单调递增. 而,所以,从而,即,故.选D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)9 解:由条件得 当时,化为,无解;当时,化为,无解;当时,化为 若,则,线段长度为;若,则,线段长度为;若,则,线段长度为综上可知,点的轨迹的构成的线段长度之和为填10解:优于,即位于的左上方,“不存在中的其它点优于”,即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为.填11解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程 的不超过去100的自然数解的组数.显然,方程的自然数解的组数为下面求方程的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超过100,不妨设.将方程化为记,则方程的自然数解的组数为因此,的系数为.填7651.12解:因为底面周长为3,所以底面边长为,底面面积为.又因为体积为,所以高为.该球的直径为,球的体积.填.13解:第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后,有如下三种情况:(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有种染法,第四行的染法随之确定;(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有4种,而在第一第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定.因此,共有染法为种.填90.14解:令,则 故是周期为5的函数. 计算可知:;. 所以,;.以上各式叠加,得;同理可得.所以,第2020棵树的种植点为.填.三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)15证明:由对称性,不妨设,令,则因,可得(3分)设,则对求导,得.(6分)易知,当时,单调递减;当时, 单调递增. (9分)故在或处有最大值且及两者相等.故的最大值为,即.(12分)由,得,其中等号仅当或成立.(14分)16 解:如果某方以或获胜,则将未比的一局补上,并不影响比赛结果于是,问题转化为:求“乙在五局中至少赢三局的概率”(3分)乙胜五局的概率为;(6分)乙胜四局负一局的概率为;(9分)乙胜三局负二局的概率为(12分)以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为(14分)17解:(1)因为,所以函数的定义域为,(2分)又.(5分)当时, ,即在上是减函数,故(8分)因为,所以.(12分)又容易证明,所以,(14分) .即 (16分)18证明:(1)设. 则椭圆过点的切线方程分别为,.(3分)因为两切线都过点,则有,.这表明均在直线 上.由两点决定一条直线知,式就是直线 的方程,其中满足直线的方程.(6分)(1)当点在直线上运动时,可理解为取遍一切实数,相应的为代入消去得 对一切恒成立. (9分)变形可得 对一切恒成立.故有c由此解得直线恒过定点.(12分)(2)当时,由式知 解得代入,得此时的方程为 将此方程与椭圆方程联立,消去得(15分)由此可得,此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标,即代入式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即这就是说,点平分线段.(18分)
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