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2020年高三数学一轮复习 选修4-1第1课时知能演练轻松闯关 新人教版一、填空题1.如图,已知在ABC中,ACB90,CDAB于D,AC6,DB5,则AD的长为_解析:在RtABC中,ACB90,CDAB,AC2ABAD.设ADx,则ABx5,又AC6,62x(x5),即x25x360.解得x4或x9(舍去),AD4.答案:42在梯形ABCD中,ADBC,AD2,BC5,点E、F分别在AB、CD上,且EFAD,若,则EF的长为_解析:如图所示,延长BA、CD交于点P,ADBC,又,.ADEF,又AD2,EF.答案:3.(2020高考陕西卷)如图,BD,AEBC,ACD90,且AB6,AC4,AD12,则BE_.解析:AC4,AD12,ACD90,CD2AD2AC2128,CD8.又AEBC,BD,ABEADC,BE4.答案:44在直角三角形ABC中,BAC90,AB4,AC3,过点A作ADBC,垂足为D,过点D作DEAC,垂足为E,则DE_.解析:由勾股定理得:BC5,由射影定理得:CD,由三角形面积相等得:AD,又由三角形面积相等得:DE.答案:5.(2020高考广东卷)如图,在直角梯形ABCD中,DCAB,CBAB,ABADa,CD,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF_.解析:连接DE(图略),由于E是AB的中点,故BE,又CD,ABDC,CBAB,四边形EBCD是矩形在RtADE中,ADa,F是AD的中点,故EF.答案:6.如图,已知在梯形ABCD中,上底长为2,下底长为6,高为4,对角线AC和BD相交于点P.(1)若AP的长为4,则PC_;(2)ABP和CDP高的比为_解析:(1)ABCD,APBCPD,即,解得PC12.(2)由(1)及ABP和CDP的高的比等于它们的相似比,得这两个三角形的高的比为13.答案:(1)12(2)13二、解答题7.如图,已知D为ABC中AC边的中点,AEBC,ED交AB于G,交BC延长线于F,若BGGA31,BC8,求AE的长解:AEBC,D为AC的中点,AECF,设AEx,又BC8,3xx8,x4.AE4.8.如图,在ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F.求证:AEABAFAC.证明:ADBC,ADB为直角三角形,又DEAB,由射影定理知,AD2AEAB.同理可得AD2AFAC,AEABAFAC.9.如图所示,小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m. (1)图中ABC与ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度解:(1)ABCADE,BCAE,DEAE,ACBAED90.AA,ABCADE.(2)由(1),得ABCADE.AC2 m,AE21820(m),BC1.6 m.,DE16 m.即古塔的高度为16 m.10.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且,AEBE,求证:AEDCBD.证明:三角形ABC是正三角形,ABBCAC,.又AC60,AEDCBD.11.如图,ABC中,ABAC,AD是中线,P为AD上一点,CFAB,BP的延长线交AC、CF于E、F两点,求证:PB2PEPF.证明:如图,连接PC.易证PCPB,ABPACP.CFAB,FABP.从而FACP.又EPC为CPE与FPC的公共角,从而CPEFPC,.PC2PEPF.又PCPB,PB2PEPF,命题得证12.如图所示,在ABC中,CAB90,ADBC于D,BE是ABC的平分线,交AD于F,求证:.证明:由三角形的内角平分线定理得,在ABD中,.在ABC中,在RtABC中,由射影定理知,AB2BDBC,即.由得:,由得:.13.如图,在等腰三角形ABC中,ABAC,底边BC上的高AD10 cm,腰AC上的高BE12 cm.(1)求证:;(2)求ABC的周长解:(1)证明:在ADC和BEC中,ADCBEC90,CC,ADCBEC,.AD是等腰三角形ABC底边BC的高线,BC2BD,又ABAC,.(2)设BDx,则ABx,在RtABD中,ADB90,根据勾股定理,得AB2BD2AD2,(x)2x2102,解得x7.5.BC2x15,ABACx12.5,ABC的周长为40 cm.14.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BECD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且BFEC. (1)求证:ABFEAD;(2)若AB4,130,AD3,求BF的长解:(1)证明:ABCD,12.又BFEC,BFEBFACD,BFAD.ABFEAD.(2)AE,又,BFAD.
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