K 概率K1随事件的概率19K1、K5、K62020浙江卷 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)19解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).K2古典概型15K22020重庆卷 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_(用数字作答)15.解析 6节课共有A720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法分两类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有AA144种；(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文” 两种形式，其排法有2AA72种；(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：ACCA216种综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有14472216432种，所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为.11K22020上海卷 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)11.解析 考查古典概率和组合问题，关键是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情况所有的可能情况有CCC，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有CCC，由古典概率公式得P.6K22020江苏卷 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_6.解析 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解解题突破口为等比数列通项公式的运用由通项公式an1(3)n1得，满足条件的数有1，3，33，35，37，39，共6个，从而所求概率为P.16K2、K62020福建卷 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由16解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A).(2)依题意得，X1的分布列为 X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得，E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车7K2、J12020广东卷 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A. B.C. D.7D解析 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：第一类x为奇数，y为偶数共有：CC25；另一类x为偶数，y为奇数共有：CC20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A).K3几何概型10K32020辽宁卷 在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B.C. D.10C解析 本小题主要考查几何概型解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比令ACx，CB12x，这时的面积为Sx(12x)，根据条件Sx(12x)00x4或8x12，矩形面积小于32 cm2的概率P，故而答案为C.2E5、K32020北京卷 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.2D解析 设事件A：点到坐标原点的距离大于2.如图11，P(A).图116K3、B132020福建卷 如图11所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()图11A. B. C. D.6C解析 本题考查几何概型的计算与求解以及定积分的计算，解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求解阴影部分的面积是：S阴影(x)dx，利用几何概型公式得：P.8K32012湖北卷 如图13所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()图13A1 B.C. D.8A解析 如下图所示，不妨设扇形的半径为2a，记两块白色区域的面积分别为S1，S2，两块阴影部分的面积分别为S3，S4，则S1S2S3S4S扇形OAB(2a)2a2，而S1S3与S2S3的和恰好为一个半径为a的圆的面积，即S1S3S2S3a2.由得S3S4；又由图可知S3S扇形EODS扇形CODS正方形OEDCa2a2，所以S阴影a22a2.故由几何概型概率公式可得，所求概率P1.故选A.15C3、K32012湖南卷 函数f(x)sin(x)的导函数yf(x)的部分图象如图15所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点(1)若，点P的坐标为，则_；(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_图1515(1)3(2) 解析 考查三角函数f(x)sin(x)的图象与解析式，结合导数和几何概型，在陈题上有了不少的创新作为填空题，第二问可在第一问的特殊情况下求解(1)函数f(x)sin(x)求导得，f(x)cos(x)，把和点代入得cos解得3.(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f(x)3cos，求得A，B，C，故ABC的面积为SABC3，曲线段与x轴所围成的区域的面积Ssinsin2，所以该点在ABC内的概率为P.10L1、K32012陕西卷 图13是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入()图13AP BPCP DP10D解析 本题主要考查循环结构的程序框图的应用，同时要兼顾考查学习概率的模拟方法中圆周率的模拟，通过阅读题目和所给数据可知试验了1000次，M代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，对应的圆周率为P.K4 互斥事件有一个发生的概率16B11、B12、E32012重庆卷 设f(x)a ln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值16解：(1)因f(x)a ln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值K5 相互对立事件同时发生的概率16B11、B12、E32012重庆卷 设f(x)a ln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值16解：(1)因f(x)a ln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值17K5、K62012湖南卷 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率)17解：(1)由已知得25y1055，x3045，