难点9 指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.难点磁场()设f(x)=log2,F(x)=+f(x).(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若f(x)的反函数为f1(x),证明：对任意的自然数n(n3),都有f1(n);(3)若F(x)的反函数F1(x),证明：方程F1(x)=0有惟一解.案例探究例1已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x11,x21,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以OC的斜率：k1=,OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,x13=3x1.又x11,x1=,则点A的坐标为(，log8).例2在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0a1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：an=n+,bn=2000().(2)函数y=2000()x(0abn+1bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即()2+()10,解得a5(1).5(1)a10.(3)5(1)a10,a=7bn=2000().数列bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2,Bn=bnBn1.于是当bn1时，BnBn1,当bn1时，BnBn1,因此数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1且bn+11时，函数y=logax和y=(1a)x的图象只可能是( )二、填空题3.()已知函数f(x)=.则f-1(x1)=_.4.()如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=aent,那么桶2中水就是y2=aaent,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_分钟桶1中的水只有.三、解答题5.()设函数f(x)=loga(x3a)(a0且a1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当xa+2,a+3时，恒有|f(x)g(x)|1,试确定a的取值范围.6.()已知函数f(x)=logax(a0且a1),(x(0,+),若x1,x2(0,+),判断f(x1)+f(x2)与f()的大小，并加以证明.7.()已知函数x,y满足x1,y1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0且a1),求loga(xy)的取值范围.8.()设不等式2(logx)2+9(logx)+90的解集为M，求当xM时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.参考答案难点磁场解：(1)由0,且2x0得F(x)的定义域为(1，1)，设1x1x21,则F(x2)F(x1)=()+(),x2x10,2x10,2x20,上式第2项中对数的真数大于1.因此F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1),F(x)在(1，1）上是增函数.(2)证明：由y=f(x)=得：2y=,f1(x)=,f(x)的值域为R，f-1(x)的定义域为R.当n3时，f-1(n).用数学归纳法易证2n2n+1(n3),证略.(3)证明：F(0)=,F1()=0,x=是F1(x)=0的一个根.假设F1(x)=0还有一个解x0(x0),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)又g(x)+h(x)=lg(10x+1).即g(x)+h(x)=lg(10x+1)由得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1).答案：C2.解析：当a1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a1时，y=(1a)x为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f- 1(x)=,从而：f1(x1)=答案：4.解析：由题意，5分钟后，y1=aent,y2=aaent,y1=y2.n=ln2.设再过t分钟桶1中的水只有,则y1=aen(5+t)=,解得t=10.答案：10三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x,y),则x=x2a,y=y.即x=x+2a,y=y.点P(x,y)在函数y=loga(x3a)的图象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga,g(x)=loga.(2)由题意得x3a=(a+2)3a=2a+20;=0,又a0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)g(x)|1,1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+22a.f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组的解.由loga(96a)1解得0a,由loga(44a)1解得0a,所求a的取值范围是0a.6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x1,x2(0,+),x1x2()2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，当a1时，有logax1x2loga()2,logax1x2loga()，(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(当且仅当x1=x2时取“=”号)当0a1时，有logax1x2loga()2,(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(当且仅当x1=x2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u1)2+(v1)2=4(uv0)与平行直线系v=u+k有公共点，分两类讨论.(1)当u0,v0时，即a1时，结合判别式法与代点法得1+k2(1+);(2)当u0,v0,即0a1时，同理得到2(1)k1.x综上，当a1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+；当0a1时，logaxy的最大值为1，最小值为22.8.解：2(x)2+9(x)+90(2x+3)( x+3)0.3x.即 ()3x()()x()3,2x8即M=x|x2,8又f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21.2x8,log2x3当log2x=2,即x=4时ymin=1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.