2020版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语 知识特点 1、集合是高中数学家的起始章节，主要是强调其工具性和应用性。另外，由于Venn图的利用，数形结合思想的应用也很广泛。2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具，以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主，属容易题目。3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非常密切，常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、解析几何、立体几何中的知识点。重点关注1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。2、对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键。4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也应注意这两种思想的应用。地位与作用“集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分，集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容。这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合的基本关系及集合的基本运算。常用逻辑用语知识则是新增内容，这部分主要是介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及其相互关系，全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，因此在历年高考中都有考查集合问题的题目。一是考查集合的有关概念，集合之间的关系，集合的运算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合语言的应用，集合思想的应用。逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，学习数学，需要全面理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分。常用逻辑用语是每年高考的必考内容，其中量词是新课标新增的内容，是考查的重点。高考对本部分的考查主要有两个方面：一是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题，一般以选择题形式出现，考查两种命题的否定命题的写法，是高考的热点；二是充要条件的推理判断以及四种命题的相互关系问题等，这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。一般在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。第一节 集 合【高考目标导航】一、考纲点击1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；7、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。二、热点难点提示1、从考查内容上看，高考题仍以考查集合的概念和集合的运算为主；2、从能力要求上看，注重基础知识和基本技能的考查，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等关系、不等式的解集相联系；3、从考查形式上看，多以选择题、填空题的形式出现。【考纲知识梳理】1集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R2集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且AB，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n1个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S4交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法5集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。【要点名师透析】一、集合的基本概念1、相关链接（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。注：要特别注意集合中的元素所代表的特征。如：A=y|y=x2+2,B=(x,y)|y=x2+2.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。2、例题解析 例1 已知A，B均为集合U=1,3,5,7,9的子集，且AB=3,BA=9,则A=（A）1,3 (B)3,7,9 (C)3,5,9 (D)3,9【答案】D【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。【解析】因为AB=3，所以3A，又因为BA=9，所以9A，所以选D。本题也可以用Venn图的方法帮助理解。例2集合,若,则的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,故选D 例3下列集合中表示同一集合的是（ C ） AM = (3，2)，N = (2，3) BM = (x，y)|x + y = 1，N = y|x +y = 1CM = 4，5，N = 5，4DM = 1，2，N = (1，2)答案：C解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。二、集合间的基本关系和运算1、相关链接（1）子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，刚其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.（2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.（3）集合A与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集 （4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn图及补集思想的应用。（5）集合的简单性质：（1）（2），（3）（4）；（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。（6）；若AB，BC，则AC2、例题解析例1：（2020湖南高考文科9）已知集合A=1,2,3，B=2，m，4，AB=2,3，则m= 【命题立意】考查集合的关系和运算【思路点拨】集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属集合的运算包括交、并和补【规范解答】AB=2,3，B中一定有元素3，则m=3.【答案】3【方法技巧】集合的关系和运算在高考中常常考一个小题，常结合方程的解，不等式的解集，函数的定义域和值域的考查解题方法是理清元素结合图象（ven图、数轴和坐标系）解决 例2： 已知集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,B=y|y2-6y+80，若AB，则实数a的取值范围为（ ）分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答解：由题知可解得A=y|ya2+1或ya, B=y|2y4,我们不妨先考虑当AB时a的范围如图由，得或.即AB时a的范围为或.而AB时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.注：（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。 三、集合与其他知识的综合应用例1：(2020届怀柔区一模(理) (本小题满分13分)已知集合，其中，表示和中所有不同值的个数（）设集合，分别求和；（）若集合，求证：； （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？解：（）由 得. 由 得.-5分（）证明：因为最多有个值，所以又集合，任取当时,不妨设，则，即.当时，.因此，当且仅当时， .即所有的值两两不同， 所以 -9分 （） 存在最小值，且最小值为不妨设可得所以中至少有个不同的数，即事实上，