【优化方案】2020年高考数学总复习 第五章第5课时知能演练+轻松闯关 文1(2020高考湖北卷)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析：设所构成数列an的首项为a1，公差为d，依题意即解得a5a14d4.答案：2已知数列an的前n项和Sn2n23n，数列bn是各项为正的等比数列，满足a1b1，b3(a2a1)b1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记cnanbn，求cn的最大值解：(1)an，an，即an4n5(nN*)故b11，b1q2(a2a1)b1，q2，bn0，q，bn()n1(nN*)(2)由(1)可知，cn(4n5)()n1，则由可得n，又nN*，故n3.即c3最大，故cn的最大值为.3已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f()，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.解：(1)an1f()an，an是以为公差的等差数列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)一、选择题1已知数列an是首项为a14的等比数列，且4a1，a5，2a3成等差数列，则其公比q等于()A1B1C1或1 D.解析：选C.依题意有2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，整理得q4q220，解得q21(q22舍去)，所以q1或1，故选C.2(2020高考福建卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7C8 D9解析：选A.设等差数列的公差为d，则由a4a66得2a56，a53.又a111，3114d，d2，Sn11n2n212n(n6)236，故当n6时Sn取最小值，故选A.3(2020德州调研)等差数列an的前n项和为Sn，S918，S1352，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b15的值为()A64 B64C128 D128解析：选B.因为S9(a1a9)9a518，S13(a1a13)13a752，所以a52，a74，又b5a5，b7a7，所以q22，所以b15b7q841664.4数列an的通项公式是关于x的不等式x2xnx(nN*)的解集中的整数个数，则数列an的前n项和Sn()An2 Bn(n1)C. D(n1)(n2)解析：选C.由x2xnx，得0x1且nN)满足y2x1，则a1a2a10_.解析：an2an11an12(an11)，an1是等比数列，则an2n11.a1a2a1010(20212229)101033.答案：10337(2020高考浙江卷)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n1列的数是_解析：由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，组成一等差数列，所以第n行第n1列的数是：n2n.答案：n2n8两个相距234厘米的物体相向运动，甲第一秒经过3厘米，以后每秒比前一秒多行4厘米乙第一秒经过2厘米，以后每秒行的路程是前一秒的倍，则经过_秒两物体相遇解析：第n秒甲、乙两物体各行an、bn厘米，an4n1，bn2()n1(nN*)an的前n项和Sn2n2n，bn的前n项和为Tn4()n4.由题意知：234SnTnn8.答案：8三、解答题9(2020高考广东卷)设b0，数列an满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an1.解：(1)an(n2)，.令cn，cncn1(n2)，c1.当b2时，cncn1，即cncn1.数列cn是以c1为首项，为公差的等差数列cn(n1).又cn，即an2.当b2时，an2.当b0且b2时，由cncn1(n2)得cncn1，cncn1，即cn(n2)c10，是以为首项，为公比的等比数列cnn1n.cnn.又cn，an.即当b0且b2时，an.综上所述，an(2)证明：当b2时，an2，此时an1显然成立当b0且b2时，an11n()(2n12n2b2bn2bn1)令A(2n12n2b2bn2bn1)，则A111n，即An得证即当b0且b2时，an1对于一切正整数n成立综上所述，an1对于一切正整数n成立10已知数列an是等差数列，a26，a518，数列bn的前n项和是Tn，且Tnbn1.(1)求数列an的通项公式；(2)求证数列bn是等比数列；(3)记cnanbn，求证：cn1cn.解：(1)由已知解得a12，d4，an2(n1)44n2.(2)证明：由于Tn1bn，令n1，得b11b1，解得b1.当n2时，Tn11bn1，得bnbn1bn，bnbn1.又b10，数列bn是以为首项，为公比的等比数列(3)证明：由(2)可得bn.cnanbn(4n2)，cn1cn.n1，故cn1cn0，cn1cn.11(探究选做)某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an(单元：万元，nN*)，记第n天的利润率bn，例如b3.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利润率bn；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率解：(1)当n1时，b1；当n2时，b2.(2)当1n25时，a1a2an1an1.bn.当26n60时，bn，第n天的利润率bn(nN*)(3)当1n25时，bn是递减数列，此时bn的最大值为b1；当26n60时，bn(当且仅当n，即n50时，“”成立)又，n1时，(bn)max.该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为.