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上海市南汇中学2020学年度第一学期高三数学期中考试卷一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、若集合,则=2、函数的单调递增区间为3、已知,那么4、函数图象恒过定点,若存在反函数,则的图象必过定点5、设无穷等比数列的各项和为,且满足,则 3 6、已知等差数列的前项和为,若,则= 72 7、是定义在上的偶函数,且在上是增函数,若,则实数的取值范围是8、在用数学归纳法求证:的过程中,则当时,左端应在时的左端加上 9、已知函数是定义在上的奇函数,且的图象关于对称,则 0 10、定义运算:,若,则的所有允许取值所组成的集合是11、已知数列中,则在数列的前2020项中,最大的项是第 2 项12、设函数的定义域为,如果对于任意的,存在唯一的,使(为常数)成立,则称函数在上均值为,给出下列四个函数(1) (2) (3) (4)则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 (1)(3) 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、若数列是无穷等比数列,其前项和为,则下列结论可能成立的是 ( C )(A) (B) (C) (D)14、设,则的一个必要而非充分条件是 ( D )(A) (B)或 (C) (D)15、若对于任意实数,恒成立,则实数的取值范围是 ( A )(A) (B) (C) (D)16、设,二次函数的图象为下列之一,则的值为 ( B ) (A)1 (B) (C) (D)三、解答题(本大题满分86分)17、(本题12分) 解不等式组 解:原不等式组可化为 所以不等式的解为:18、(本题12分)已知数列的首项,前项和为,且,求数列的通项公式解;, 两式相减整理得:, 而, 所以19、(本题14分)设函数,不等式的解集为。(1)求;(2)判断的单调性,并用定义证明。解:(1) (2),定义域为,在单调递增。 证略20、(本题14分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元。(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出88辆。 (2)设每辆车的月租金定为3000+元,则租赁公司的月收益 故当,即月租金定为4050元时,月收益最大,最大收益是307050元。21、(本题16分)已知是各项均为正数的递减等比数列的前项之和,且。(1)求数列的通项公式;(2)设是偶函数,当时,求的定义域及其解析式;(3)对任意正整数和(2)中的,若不等式恒成立,求的取值范围解;(1) (2) (3)由(1)单调递增,且 所以若恒成立,则有恒成立。 当时,由得 当时,由得 综上所述:当时,恒成立22、(本题18分)设函数,函数,其中为常数且,令函数为函数和的积函数(1) 求函数的表达式,并求其定义域;(2)当时,求函数的值域;(3)是否存在自然数,使得函数的值域恰为?若存在,试写出所有满足条件的自然数所构成的集合;若不存在,试说明理由。解:(1),定义域为 (2)在上单调递增,可知函数值域为 (3)假设存在这样的自然数,满足条件, 令,代换可得因的定义为,则有由于当且仅当即时恰有故得在上是减函数,在上是增函数而,要满足值域为,则有,因得综上:故满足条件的所有自然数的集合为
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