第60讲 空间直线、平面垂直位置关系的证明【知识要点】一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线垂直线面垂直面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.位置关系定义判定定理性质定理直线和平面垂直如果一条直线垂直于一个平面的所有直线，则这条直线垂直于这个平面.如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.（记为：线线垂直，则线面垂直）如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.（记为：线面垂直，则线线垂直） 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 过一点与已知平面垂直的直线只有一条. 垂直于同一条直线的两个平面平行.平面和平面垂直如果两个平面相交所构成的二面角是90，则这两个平面互相垂直 .如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(记为：线面垂直，则面面垂直)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.（记为：面面垂直，则线面垂直） 如果两个平面互相垂直，经过一个平面内的一点向另一个平面作垂线，那么这条垂线一定在第一个平面内.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.其中向量是直线的方向向量，且向量是平面的法向量，且 二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直.【方法讲评】方法一几何方法使用情景转化的线或面比较容易找到解题步骤线线垂直线面垂直面面垂直【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积（III）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.【点评】（1）本题的第1问证明PABD，转化成证明平面，第2问证明平面平面转化成证明平面.（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面. 【例2】如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明； （）证明平面；（）求二面角的大小（）【点评】（1）证明的关键是证明垂直所在的平面.(2)证明平面的关键是证明垂直平面内的两条相交直线【反馈检测1】【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.方法二向量法使用情景转化的线或面不容易找到，而已知条件方便建立空间直角坐标系，点的坐标比较容易写出.解题步骤建立空间直角坐标系写出点的坐标，求出直线方向向量的坐标和平面的法向量利用向量的关系得到直线和平面的关系.【例3】如图，已知正方体棱长为2，、分别是、和的中点.（1）证明：面；（2）求二面角的余弦值. (2)由(1)知为面的法向量 面，为面的法向量 设与夹角为，则 由图可知二面角的平面角为 二面角的余弦值为.【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接. 当然，也可以选择几何法. 【反馈检测2】如图，已知多面体中，为菱形，平面，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第60讲：空间直线、平面垂直位置关系的证明参考答案【反馈检测1答案】(1)证明略；(2) .（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.【反馈检测2答案】（1）见解析;(2）所求二面角得余弦值为【反馈检测2详细解析】（1）设以为空间直角坐标系原点，以为轴，以为轴，以过点平行于的射线为轴建立空间直角坐标系，且菱形中且，设 又，又，又且 平面（2）设平面，设所求二面角为，则有又因为所求二面角为锐角，所以所求二面角得余弦值为.9