数学思想专练(一)函数与方程思想题组1运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为()A16B32C64D62C由题意可知aa1a5，即(1d)21(14d)，解得d2，所以an1(n1)22n1.S84(115)64.2若2x5y2y5x，则有() Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0B原不等式可化为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为R上的增函数，所以有xy，即xy0.3若关于x的方程x22kx10的两根x1，x2满足1x10x22，则k的取值范围是()A. B.C. D.B构造函数f(x)x22kx1，因为关于x的方程x22kx10的两根x1，x2满足1x10x22，所以即所以k0，所以k的取值范围是.4(2017南昌三模)已知是锐角三角形的最小内角，向量a(sin ，1)，b(1，cos )，则ab的取值范围是_. (1，absin cos sin，由0得，所以sin1，所以1ab.5(2016郑州模拟)已知函数f(x)xln xa，g(x)x2ax，其中a0.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)也相切，求a的值；(2)证明：x1时，f(x)g(x)恒成立 解(1)由f(x)xln xa，得f(1)a，f(x)ln x1，所以f(1)11分所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为yxa1.因为直线yxa1与曲线yg(x)也相切，所以两方程联立消元得x2axax1，即x2(a1)x1a0，3分所以(a1)24(1a)0，得a21.因为a0，所以a16分(2)证明：x1时，f(x)g(x)恒成立，等价于x2axxln xa0恒成立令h(x)x2axxln xa，则h(1)0且h(x)xaln x16分令(x)xln x1，则(1)0且(x)1，8分所以x1时，(x)0，(x)单调递增，所以(x)(1)0.又因为a0，所以h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)h(1)0，所以x1时，x2axxln xa0恒成立，11分即x1时，f(x)g(x)恒成立12分题组2利用函数与方程思想解决几何问题6设抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216xC由抛物线的定义可知MFxM5，xM5，y15p，故以MF为直径的圆的方程为(xxM)(xxF)(yyM)(yyF)0，即(2yM)(20)0.yM22yM4，p或.C的方程为y24x或y216x.7已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥侧棱长的最小值为()A2B2C2D4A设正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为x，高为h，由题意知a2h，得a2h32，从而a2，又x2h2a2h2，令g(h)h2，则g(h)2h，当0h2时，g(h)0；当h2时，g(h)0.从而g(h)在h2时有最小值，即g(h)min12.从而x有最小值2，故选A.8已知椭圆E：1(ab0)的离心率e，并且经过定点P.(1)求椭圆E的方程；(2)问：是否存在直线yxm，使直线与椭圆交于A，B两点，且满足？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解(1)由e且1，c2a2b2，解得a24，b21，即椭圆E的方程为y216分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24(mx)2405x28mx4m240.(*)所以x1x2，x1x2，8分y1y2(mx1)(mx2)m2m(x1x2)x1x2m2m2，由得(x1，y1)(x2，y2)，即x1x2y1y2，m2.又方程(*)要有两个不等实根，所以(8m)245(4m24)0，解得m，所以m212分9如图1，直三棱柱ABCABC中，ACBC5，AAAB6，D，E分别为AB和BB上的点，且.图1(1)求证：当1时，ABCE；(2)当为何值时，三棱锥ACDE的体积最小，并求出最小体积解(1)证明：1，D，E分别为AB和BB的中点1分又AAAB，且三棱柱ABCABC为直三棱柱，平行四边形ABBA为正方形，DEAB2分ACBC，D为AB的中点，CDAB.3分CD平面ABBA，CDAB，4分又CDDED，AB平面CDE.CE平面CDE，ABCE6分(2)设BEx，则ADx，DB6x，BE6x.由已知可得C到平面ADE的距离即为ABC的边AB所对应的高h4，8分VACDEVCADE(S四边形ABBASAADSDBESABE)hh(x26x36)(x3)227(0x6)，11分当x3，即1时，VACDE有最小值1812分4