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第六节对数与对数函数考纲传真1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0,且a1)与对数函数ylogax(a0,且a1)互为反函数 (对应学生用书第18页) 基础知识填充1对数的概念如果a(a0,a1)的b次幂等于N,即abN,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaNb,其中a叫作对数的底数,N叫作真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logalogaMlogaN;logaMnnlogaM(nR);logMnlogaM(m,nR且m0)(2)对数的性质alogaNN;logaaNN(a0,且a1)(3)对数的重要公式换底公式:logbN(a,b0,a,b1,N0);logab,推广logablogbclogcdlogaD3对数函数的图像与性质a10a1图像性质(1)定义域:(0,)(2)值域:R(3)过点(1,0),即x1时,y0(4)当x1时,y0,0x1时,y0(5)当x1时,y0,0x1时,y0(6)是(0,)上的增函数(7)是(0,)上的减函数4. 反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数,它们的图像关于直线yx对称知识拓展1换底公式的两个重要结论(1)logab;(2)logambnlogaB其中a0且a1,b0且b1,m,nR.2对数函数的图像与底数大小的比较如图261,作直线y1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数故0cd1aB由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大图261基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)log2x22log2x.()(2)当x1时,logax0.()(3)函数ylg(x3)lg(x3)与ylg(x3)(x3)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),函数图像不在第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)2已知a2,blog2,c,则()AabcBacbCcbaDcabD0a2201,blog2log210,c1,caB3已知函数yloga(xc)(a,c为常数,其中a0,a1)的图像如图262,则下列结论成立的是()图262Aa1,c1Ba1,0c1C0a1,c1D0a1,0c1D由图像可知yloga(xc)的图像是由ylogax的图像向左平移c个单位得到的,其中0c1.再根据单调性可知0a1.4(教材改编)若loga1(a0,且a1),则实数a的取值范围是()AB(1,)C(1,)DC当0a1时,logalogaa1,0a;当a1时,logalogaa1,a1.即实数a的取值范围是(1,)5(2018南昌模拟)计算:2log510log5_,2log43_. 【导学号:00090033】22log510log5log52,因为log43log23log2,所以2log432log2.(对应学生用书第19页)对数的运算(1)设2a5bm,且2,则m等于()AB10C20D100(2)(2018太原模拟)已知log7log3(log2x)0,那么x等于()A BCD(1)A(2)D(1)2a5bm,alog2m,blog5m,logm2logm5logm102,m.(2)由log7log3(log2x)0得log3(log2x)1,即log2x3,所以x8,所以x.规律方法1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并2先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算3abNblogaN(a0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化变式训练1(1)(2017东城区综合练习(二)已知函数f(x)则f(2log23)的值为()A24B16 C12D8(2)(2015浙江高考)计算:log2_,2log23log43_.(1)A(2)3(1)32log234,f(2log23)f(3log23)23log238324,故选A(2)log2log2log221;2log23log432log232log4332log4332log23.对数函数的图像及应用(1)(2017河南南阳一模)若函数ya|x|(a0,且a1)的值域为y|y1,则函数yloga|x|的图像大致是() A BC D(2)(2017衡水调研)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是_(1)B(2)(1,)(1)若函数ya|x|(a0,且a1)的值域为y|y1,则a1,故函数yloga|x|的大致图像如图所示故选B(2)如图,在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图像,其中a表示直线在y轴上截距,由图可知,当a1时,直线yxa与ylog2x只有一个交点规律方法1.在识别函数图像时,要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解变式训练2(1)(2018邵阳模拟)若函数f(x)axkax(a0且a1)在(,)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)loga(xk)的大致图像是()(2)(2018合肥模拟)当0x时,4xlogax,则a的取值范围是() 【导学号:00090034】A BC(1,)D(,2)(1)B(2)B(1)由题意函数f(x)axkax(a0且a1)在(,)上既是奇函数又是增函数,有f(0)0,即01k,k1,根据增增增,yax是增函数,a1.那么函数g(x)loga(x1)(a1)的图像单调递增,恒过(0,0),故选B(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax,当a1时不满足条件,当0a1时,画出两个函数在上的图像,可知fg,即2loga,则a,所以a的取值范围为.对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小(1)(2016全国卷)若ab0,0c1,则()AlogaclogbcBlogcalogcbCacbcDcacb(2)(2018榆林模拟)设a60.4,blog0.40.5,clog80.4,则a、b、c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbca(1)B(2)B(1)0c1,当ab1时,logaclogbc,A项错误;0c1,ylogcx在(0,)上是减少的,又ab0,logcalogcb,B项正确;0c1,函数yxc在(0,)上是增加的,又ab0,acbc,C项错误;0c1,ycx在(0,)上是减少的,又ab0,cacb,D项错误(2)因为a60.41,blog0.40.5(0,1),clog80.40,所以abC角度2解简单的对数不等式(1)(2018哈尔滨模拟)已知函数f(x),则不等式f(x)5的解集为()A1,1B(,2(0,4)C2,4D(,20,4(2)(2016浙江高考)已知a,b0且a1,b1,若logab1,则()A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0(1)C(2)D(1)由于f(x),当x0时,3log2x5,即log2x2log24,解得0x4,当x0时,x2x15,即(x3)(x2)0,解得2x0,不等式f(x)5的解集为2,4,故选C(2)法一:logab1logaa,当a1时,ba1;当0a1时,0ba1.只有D正确法二:取a2,b3,排除A,B,C,故选D角度3探究对数型函数的性质已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 【导学号:00090035】解(1)因为f(1)1,所以log4(a5)1,因此a54,a1,这时f(x)log4(x22x3)由x22x30,得1x3,函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3,则g(x)在(1,1)上是增加的,在(1,3)上是减少的又ylog4x在(0,)上是增加的,所以f(x)的单调递增区间是(1,1),单调递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,则h(x)ax22x3应有最小值1,即解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.规律方法利用对数函数的性质研究对数型函数性质,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需将函数解
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