第七节立体几何中的向量方法考纲传真(教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用(对应学生用书第122页)基础知识填充1空间位置关系的向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm02.异面直线的夹角已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s23直线与平面的夹角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为，则sin |cosa，n|.4二面角(1)如图771(1)，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，图771(2)如图771(2)(3)，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合()(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角()(4)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角()(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(6)两异面直线夹角的范围是，直线与平面夹角的范围是，二面角的范围是0，()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材改编)设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()A3 B4C5D6C，则uv262(4)4t0，t5.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1)B(1，1,1)CDC设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.故选C4直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN夹角的余弦值为()A B C DC建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故BM与AN夹角的余弦值cos .5过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_45如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.(0,1,0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.第1课时利用空间向量证明平行与垂直(对应学生用书第123页)利用空间向量证明平行问题(2017天津高考节选)如图772，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.图772求证：MN平面BDE.解如图，以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.规律方法(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.跟踪训练如图773所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.图773证明平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2，22，又与不共线，与共面PB平面EFG，PB平面EFG.利用空间向量证明垂直问题(2017开封模拟)如图774，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB.求证：平面BCE平面CDE. 【导学号：79140249】图774证明设ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)所以(a，a，a)，(2a,0，a)，(a，a,0)，(0,0，2a)设平面BCE的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10可得即令z12，可得n1(1，2)设平面CDE的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n20，n20可得即令y21，可得n2(，1,0)因为n1n211()0.所以n1n2，所以平面BCE平面CDE.若本例中条件不变，点F是CE的中点，证明DF平面BCE.证明由例2知C(2a,0,0)，E(a，a,2a)，平面BCE的法向量n1(1，2)点F是CE的中点，F，n1，n1，故DF平面BCE.规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.跟踪训练如图775所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.图775证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO.A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)(2，1,0)，(1，2，)(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.，(1,0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA又PAPBP，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.利用空间向量解决探索性问题(2018北京东城区综合练习(二)如图776，在几何体ABCDEF中，平面ADE平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF，EFAB，M为BC的中点图776(1)求证：FM平面BDE；(2)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；(3)在棱CF上是否存在点G，使BGDE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：取CD的中点N，连接MN，FN.因为N，M分别为CD，BC的中点，所以MNBD.又BD平面BDE且MN平面BDE，所以MN平面BDE.因为EFAB，AB2EF，所以EFCD，EFDN.所以四边形EFND为平行四边形，所以FNED.又ED平面BDE且FN平面BDE，所以FN平面BDE.又FNMNN，所以平面MFN平面BDE.又FM平面MFN，所以FM平面BDE.(2)取AD的中点O，连接EO，BO.因为EAED，所以EOAD.因为平面ADE平面ABCD，所以EO平面ABCD，EOBO.因为ADAB，DAB60，所以ADB为等边三角形因为O为AD的中点，所以ADBO.因为EO，BO，AO两两垂直，设AB4，以O为原点，OA，OB，OE为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意，得A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(4,2，0)，D(2,0,0)，E(0,0,2)，F(1，2)(3，2)，(2,0,2)，(0，2，2)设平面BDE的法向量为n(x，y，z)则即令z1，则y1，x.所以n(，1,1)设直线CF与平面BDE所成角为，sin |cos，n|.所以直线CF与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设G是CF上一点，且，0,1因此点G(34，2，2)(34，2)由0，解