3 4二元一次方程组的应用 一 积分与行程问题 复习回顾一 等式的概念及性质 1 判断正误 1 若ac bc 则a b 2 2x 3 则x 2 3 类型之二 一元一次方程 组 的有关概念 2 若关于x y的方程组的解是 则为 A 1B 3C 5D 2 3 若关于x y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解 则k的值为 A B C D 例1 某市举办中学生足球比赛 规定胜一场得3分 平一场得1分 市第二中学足球队比赛11场 没有输过一场 共得27分 试问该队胜几场 平几场 分析题意 方法一 1 该队共进行比赛多少场 有没有输 2 若假设胜利了x场 则平多少场 3 胜利一场得3分 胜利x场得了多少分 4 平一场得1分 平局共得多少分 5 该队共得27分 6 你找到等量关系了吗 没有 11 x 3x 11 x 胜利得分 平局得分 总分 通过以上分析你有信心独立列出方程吗 解 设该队胜利x场 则平了 11 x 场 由题意可得3x 11 x 27 分析题意 方法二 1 若假设胜利了x场 平局为 场 共进行11场比赛 你能找到它们三者之间的等量关系吗 2 胜一场得3分 胜x场共得了3x分 平一场得1分 平局 场共得y分 总得27分 这3个得分间有什么等量关系 胜利场数 平局场数 总场数 胜利得分 平局得分 总分 设两个未知数 就需要列二元一次方程组来解决 你能列出这个方程组吗 解 设胜利x场 平局为y场 根据题意 得 列二元一次方程组解应用题的关键步骤 找出两个等量关系式 列出两个方程 设两个未知数 列出方程组 练习1 一次篮 排球比赛 共有48个队 520名运动员参加 其中篮球队每队10名 排球队每队12名 求篮 排球各有多少队参赛 解 设篮 排球各有x y队 练习2 妈妈给你20元钱买笔记本和笔 商店里的笔记本价格3元 本 笔2元 支 用完20元钱 买笔记本和笔9件 笔记本和笔各能买多少 分析 笔记本的数量 笔的数量 9买笔记本的钱 买笔的钱 20解 设你买笔记本x本 买笔y支根据题意可得 解这个方程组得 答 你买笔记本2本 买笔7支 检验一下 你求出的解和我的一样吗 例2 甲 乙两人相距4km 以各自的速度同时出发 如果同向而行 甲2h追上乙 如果相向而行 两人0 5h后相遇 试问两人的速度各是多少 同时出发 同向而行 同时出发 相向而行 解 设甲 乙的速度分别是xkm h ykm h 根据题意 得 答 甲的速度是5km h 乙的速度是3km h 例题 通讯员要在规定时间内到达某地 他每小时走15千米 则可提前24分钟到达某地 如果每小时走12千米 则要迟到15分钟 求通讯员到达某地的路程是多少千米 和原定的时间为多少小时 解 设路程是S千米 原定时间是t小时 练习1 小王在指定时间内由甲地到乙地 如果他每小时行35千米 那么他就要迟到2小时 如果他每小时行50千米 那么他就可以比指定时间早到1小时 求甲 乙两地间的距离及原计划行驶的时间 练习2 甲 乙两列火车同时从相距910千米的两地相向出发 10小时后相遇 如果甲车比乙车早出发4小时20分 那么在乙车出发8小时后相遇 求两列火车的速度 分析 一 相遇问题的基本题型1 同时出发 两段 2 不同时出发 三段 二 相遇问题的等量关系 练习3 A B两地相距36千米 甲从A地出发步行到B地 乙从B地出发步行到A地 两人同时出发 4小时后相遇 6小时以后 甲所余的路程为乙所余的路程的2倍 求两人的速度 解 设甲车的速度为xkm h 乙车的速度为ykm h 根据题意 得 一 行程问题 基本数量关系 路程 时间 速度 时间 路程 速度 速度 路程 时间 同时相向而行 路程 时间 速度之和 同时同向而行 路程 时间 速度之差 船在顺水中的速度 船在静水中的速度 水流的速度 船在逆水中的速度 船在静水中的速度 水流的速度 例三 比例问题 玻璃厂熔炼玻璃液 原料是石英砂和长石粉混合而成 要求原料中含二氧化硅70 根据化验 石英砂中含二氧化硅99 长石粉中含二氧化硅67 试问在3 2t原料中 石英砂和长石粉各多少吨 解设需要石英砂xt 长石粉yt 根据题意 得 解方程组 得 答 在3 2t原料中 石英砂0 3t 长石粉2 9t 练习一 有两种合金 第一种合金含金90 第二种合金含金80 这两种合金各取多少克 熔化以后才能得到含金82 5 的合金100克 x克 y克 90 x 80 y 100克 100 82 5 解 设第一种合金取x克 第二种合金取y克 依题意 得 x y 100 90 x 80 y 100 82 5 即 x y 100 9x 8y 825 解此方程组 得 x 25 y 75 答 第一种合金取25克 第二种合金取75克 例四 配套与人员分配问题 某村18位农民筹集5万元资金 承包一些低产田地 根据市场调查 他们计划对种植作物的品种进行调查 改种蔬菜和荞麦 这两种作物每公顷需要的人数和需投入的资金如下表 在现有条件下 这18位农民应承包多少公顷田地 怎样安排种植才能使所有的人都有工作 且资金正好够用 解方程组 得 承包田地的面积为 人员安排为5x 5 2 10 人 4y 4 2 8 人 练习 二 例1 某车间22名工人生产螺钉与螺母 每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个 一个螺钉要配两个螺母 为了使每天生产的产品刚好配套 应该分配多少名工人生产螺钉 多少名工人生产螺母 一个螺钉配两个螺母 螺钉数 螺母数 1 2 解 设分配名x工人生产螺钉 y名工人生产螺母 则一天生产的螺钉数为1200 x个 生产的螺母数为2000y个 所以为了使每天生产的产品刚好配套 应安排10人生产螺钉 12人生产螺母 练习2 某工地需要派48人去挖土和运土 如果每人每天平均挖土5方或运土3方 那么应该怎样安排人员 正好能使挖的土能及时运走 每天挖的土等于每天运的土 解 设安排x人挖土 y人运土 则一天挖土5x 一天动土3y方 答 每天安排18人挖土 30人运土正好能使挖的土及时运走