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课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1若直线l的方向向量为a(1,0,2),平面的法向量为n(2,0,4),则()AlBlCl Dl与斜交解析:选Ba(1,0,2),n(2,0,4),n2a,即an,l.2空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为()A共线 B共面C不共面 D无法确定解析:选C(2,0,4),(2,3,5),(0,3,4),由不存在实数,使成立知,A,B,C不共线,故A,B,C,D不共线;假设A,B,C,D共面,则可设xy (x,y为实数),即由于该方程组无解,故A,B,C,D不共面,故选C.3已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是()A与 B与C与 D与解析:选A因为PA平面ABCD,所以PACD,0,排除D.又因为ADAB,所以ADPB,所以0,同理0,排除B、C,故选A.4A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足0,0,0,M为BC的中点,则AMD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析:选CM为BC的中点,()()0.AMAD,即AMD为直角三角形5.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量,表示向量,设xyz,则x,y,z的值分别是()Ax,y,z Bx,y,zCx,y,z Dx,y,z解析:选D设a,b,c,G分MN的所成比为2,()aabcaabc,即x,y,z.6已知a(1,2,2),b(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为_解析:cosa,b.答案:7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是CD,PC的中点,并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中,则MN_.解析:连接PD,M,N分别为CD,PC的中点,MNPD,又P(0,0,1),D(0,1,0),PD,MN.答案:8已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VAVBVCVD,则VA与平面PMN的位置关系是_解析:如图,设a,b,c,则acb,由题意知bc,abc.因此,共面又VA平面PMN,VA平面PMN.答案:平行9.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14,点D是AB的中点(1)求证:ACBC1;(2)求证:AC1平面CDB1.证明:因为直三棱柱ABC A1B1C1的底面边长分别为AC3,BC4,AB5,所以ABC为直角三角形,ACBC.所以AC,BC,C1C两两垂直如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),D.(1)因为(3,0,0),1(0,4,4),所以0,所以ACBC1.(2)法一:设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E(0,2,2),(3,0,4),所以,DEAC1.因为DE平面CDB1,AC1平面CDB1,所以AC1平面CDB1.法二:易知(3,0,4),(0,4,4)设平面CDB1的一个法向量为n(x,y,z),则取y3,得x4,z3,所以n(4,3,3)因为n3(4)034(3)0.所以n.又AC1平面CDB1,所以AC1平面CDB1.10.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1,E为CD的中点(1)求证:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由解:以A为原点, 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设ABa.(1)证明:A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故(0,1,1),因为011(1)10,所以B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此时(0,1,z0),再设平面B1AE的一个法向量为n(x,y,z),(a,0,1),.因为n平面B1AE,所以n,n,即取x1,得y,za,得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE,只要n,有az00,解得z0.又DP平面B1AE,所以存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP.B级拔高题目稳做准做1已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若xyz (x,y,zR),则“x2,y3,z2”是“P,A,B,C四点共面”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选B当x2,y3,z2时,即232.则23()2(),即32,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设mn (m,nR),即m()n(),即(1mn)mn,即x1mn,ym,zn,这组数显然不止2,3,2.故“x2,y3,z2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件2已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为()Aa2 B.a2C.a2 D.a2解析:选C()()(a2cos 60a2cos 60)a2.3.如图,在大小为45的二面角AEFD中,四边形ABFE,四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()A. B.C1 D.解析:选D,|2|2|2|22221113,|.4已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当取最小值时,点Q的坐标是_解析:由题意,设,则(,2),即Q(,2),则(1,2,32),(2,1,22),(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062,当时取最小值,此时Q点坐标为.答案:5.如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,ADDE2AB.(1)求证:平面BCE平面CDE;(2)若点M是CD的中点,求证:AM平面BCE.证明:(1)设ADDE2AB2a,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a)所以(a,a,a),(2a,0,a),(a,a,0),(0,0,2a)设平面BCE的法向量为n1(x1,y1,z1),由可得即令z12,可得n1(1,2)设平面CDE的法向量为n2(x2,y2,z2),由可得即令y21,可得n2(,1,0)因为n1n21()1200.所以n1n2,所以平面BCE平面CDE.(2)易得M,则,又平面BCE的一个法向量为n1(1,2),则n11a()020.所以n1,又AM平面BCE,所以AM平面BCE.6.如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC4,ABAD2.(1)求证:ACBF;(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解:(1)证明:平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCDAD,AFAD,AF平面ADEF,AF平面ABCD.AC平面ABCD,AFAC.过A作AHBC于H,则BH1,AH,CH3,AC2,AB2AC2BC2,ACAB.ABAFA,AC平面FAB.BF平面FAB,ACBF.(2)存在,理由如下:由(1)知,AF,AB,AC两两垂直以A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,2),F(0,0,2),假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,设,则0,P.设平面PAC的法向量为m(x,y,z)由,(0,2,0),得即令x1,则z,所以m为平面PAC的一个法向量因为(2,0,2),(2,2,0),设n(a,b,c)为平面BCEF的一个法向量,所以即取a1,则b,c1,所以n为平面BCEF的一个法向量当mn0,即时,平面PAC平面BCEF,故存在满足题意的点P,此时.8
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