上高二中2021届高二上学期期末考试数学（理科）试题1.下列说法中正确的是（ ）A. 先把高二年级的名学生编号：到，再从编号为到的学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这种抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线不一定过样本中心C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于D. 若一组数据，的平均数是，则该组数据的方差也是【答案】D【解析】【分析】A是系统抽样，B选项线性回归直线一定过样本中心，C选项若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，D选项若一组数据，的平均数是，求出，则该组数据的方差即可求解.【详解】A选项：先把高二年级的名学生编号：到，再从编号为到的学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这种抽样方法是系统抽样法，所以该选项不正确；B选项：线性回归直线一定过样本中心，所以该选项不正确；C选项：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，所以该选项不正确；D选项：若一组数据，的平均数是，解得，则该组数据的方差是，所以该选项正确.故选：D【点睛】此题考查抽样方法，回归直线，相关关系的辨析，求平均数和方差，关键在于熟练掌握相关概念和公式，准确计算.2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由茎叶图直接求出甲的平均数和乙的中位数，由此得出结果.【详解】由茎叶图得：甲的平均数 乙的中位数为83即甲的平均数与乙的中位数之差为85-83=2故选：B.【点睛】本题考查了对茎叶图得认识，以及平均数和中位数的求法.3.下列命题中错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题是真命题B. 命题“，”的否定是“，”C. 若为真命题，则为真命题D. 在中，“”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其逆否命题的真假性一致可以判定A，根据特称命题的否定形式可判定B， 若为真命题，则为不一定真命题，在中，“”是“”的充要条件，即可得出选项.【详解】A选项：命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题是真命题，该选项正确；B选项：根据特称命题否定法则，命题“，”的否定是“，”，所以该选项正确；C选项：若为真命题，可能一真一假，则为可能为假命题，所以该选项错误；D. 在中，“”是“”的充要条件证明如下：在中，若，则，又由正弦定理：可得；反之若，则，则有故在中，“”是“”的充要条件，D选项正确.故选：C【点睛】此题考查四个命题间的关系，含有逻辑联结词的命题的真假判断，写出特称命题的否定，充分条件与必要条件的判断，综合性比较强.4.已知，若，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设点为，又，即, D点坐标 故选D5.设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=A. 4B. C. 8D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：依题意设两圆方程分别为，分别将代入得，所以，圆心距.考点：圆与圆的位置关系.【此处有视频，请去附件查看】6.已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案【详解】如图， 由题意可得，则2b2c2，即2（a2c2）c2，则2a23c2，即e故选D【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题7.已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：，；，；，；，其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题是正确的；对于命题，直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题，还有可能直线，因此命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题是正确的，故应选答案A.8.执行如图所示流程图，若输出的，则输入整数的最小值是（ ）A. 3B. 7C. 15D. 31【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，此时不满足条件，退出循环输出的值为，则结合选项可得输入的整数的最大值为.【详解】模拟执行程序框图，可得，满足条件，此时；满足条件，此时；满足条件，此时；满足条件，此时；由题意，此时不满足条件，应退出循环输出的值为，则结合选项可得输入的整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，判断循环退出的条件是解题的关键，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中底面为矩形，易知该几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，画出几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.10.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两动点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A. 点到平面的距离B. 直线与平面所成的角C. 三棱锥的体积D. 二面角的大小【答案】B【解析】【分析】根据平面，可判断A；直线与平面所成的角的正弦值为点到平面的距离除以线段的长度，结合A选项可判断正弦值不是定值；根据面积为定值，结合A选项可判断该选项不正确；二面角的两个半平面为，棱为，是一个确定的图形，所以二面角的大小为定值.【详解】根据正方体的性质，平面，平面，平面，为上任意一点，点到平面的距离为定值，记作，可判断A不正确；记直线与平面所成的角，不是定值，所以正弦值不是定值，所以B正确；根据正方体的性质，平面，平面，所以三棱锥的体积，是定值，所以C不正确；二面角的两个半平面为，棱为，是一个确定的图形，所以二面角的大小为定值，所以D不正确.故选：B【点睛】此题考查正方体中空间角和空间距离的求法，关键在于准确找出其中的平行与垂直关系，进行准确辨析.12.已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先可以根据题意写出直线的方程，然后令并联立直线与双曲线方程，得出两点的纵坐标之和以及纵坐标之积，再然后通过即可列出方程并解得的值，最后根据离心率计算公式即可得出结果【详解】由题意得直线方程为，不妨取，则，且.将代入，得.设，则，.由，得，所以，得，解得，所以，故该双曲线的离心率为，故选A【点睛】本题考查双曲线的相关性质，主要考查双曲线的渐近线与离心率的相关性质，考查双曲线与直线的相关性质，考查方程思想，考查运算求解能力，是中档题13.我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有_人”【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填8100.14.在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点恰好是双曲线的焦点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标形式即可求解【详解】由题：双曲线的焦点坐标，抛物线标准形式，焦点坐标，所以，解得.故答案为：【点睛】此题考查求双曲线的焦点坐标，根据抛物线的交点坐标求抛物线方程中的参数值，属于简单题目，易错点在于抛物线的标准形式没弄清楚导致焦点坐标写错.15.将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列四个命题：；异面直线与所成的角为；二面角余弦值为；三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是_.（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据线面垂直证明，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，可用射影面积法求，求出底面积和高得.【详解】取中点，连接，所以平面，平面，所以，正确；因为，所以就是二面角的平面角，平面平面，所以，以中点为原点，为坐标轴的正方向，建立空间之间坐标系，如图所示：，根据向量夹角的取值范围可得：异面直线与所成的角为，所以错误；已经证得，所以平面，就是到平面的距离，根据射影面积法可求得二面角余弦值为，所以正确；三棱锥的体积是，所以不正确.故答案为：【点睛】此题考查根据平面图形折叠而成的物体中求角度和距离，关键在于弄清折叠前后的变化关系，利用基本方法求解.16.在四面体中，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】作出图形根据所在小圆面找出球心，建立等量关系求解.【详解】由题：，所以所在小圆面的圆心就是线段的中点，取球心O，根据球的几何性质有平面，平面，所以平面平面，二面角的大小为，所以二面角的大小为，所以是边长为3等边三角形，连接，所以二面角的平面角为在线段上取，根据正三角形四心合一，可得平面，设球的半径为，则，所以，所以该外接球的体积故答案为：【点睛】此题考查根据几何体求外接球的大小，关键在于根据题意寻找出与球心和半径有关的几何关系.17.已知，圆：，直线：.（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）直线与圆相切，求出圆心到直线的距离，与半径相等，得出关于的方程，求解，即可得出结论； （2），根据垂径定理，可得圆心到直线的距离为，得到关于的方程，求解，即可得出结论；【详解】将圆的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.（1）若直线与圆相切，则有，化简得，.（2）当直线与圆相交于、两点，时圆的半径为，根据垂径定理圆心到直线的距离为，整理得 解得：或，直线的方程是和.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，要注意圆的性质在解题中的应用，属于中档题.18.已知命题P：实数m满足，其中；命题q：方程表示双曲线（1）若，且p真q真，求实数m的取值范围；（2）若是的充分不必要