2019-2020学年江西省新余市分宜中学高二上学期第一次段考数学试题一、单选题1在中，已知，则=ABCD【答案】C【解析】 ,选C.2在ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( )ABCD1【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，故选B【考点】正弦定理的应用3若等差数列的前5项之和，且，则（ ）A12B13C14D15【答案】B【解析】试题分析：由题意得，又，则，又，所以等差数列的公差为，所以【考点】等差数列的通项公式4已知等比数列中, ,且成等差数列,则( )ABCD【答案】C【解析】先根据条件求出公比，再代入求结果.【详解】由题意可设公比为q，则，.故选：C【点睛】本题考查等比数列基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.5九章算术卷第六均输中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得（ ）A钱B钱C钱D钱【答案】C【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为，公差为，则有则，所以，故选C.【点睛】本题的关键是转化为等差数列型，而对于等差数列，我们常用基本量，用这两个基本量来表示所有量。6在中,若,则一定是( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】D【解析】根据正弦函数关系得关系，即得三角形形状.【详解】，或.故选：D【点睛】本题考查正弦函数性质以及三角形形状判断，考查基本分析化简能力，属基础题.7一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60方向上,另一灯塔在船的南偏西75方向上,则这艘船的速度是 ( )A5海里/时B海里/时C10海里/时D海里/时【答案】C【解析】在中，计算得到， ，在计算得到，得到答案.【详解】如图依题意有,从而,在中,求得,这艘船的速度是 (海里/时)【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.8在中,内角的对边分别为,若的面积为,且2S=a2+b2-c2,则 ( )A-2B2CD【答案】B【解析】根据余弦定理以及三角形面积公式化简条件，解得结果.【详解】故选：B【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9在各项均为正数的等比数列an中，已知am+1am-1=2am(m2),数列an的前n项积为Tn，若T2m-1=512，则m的值为( )AB5C7D8【答案】B【解析】先根据条件求等比数列通项公式，再求积，解得结果【详解】故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10在中, 所对的边长分别是,满足，则的最大值是( ).AB1CD【答案】C【解析】先根据正弦定理化简得，再根据诱导公式以及配角公式求最值.【详解】故选：C【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式以及配角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.11已知的前项和为,且成等差数列, ,数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为( ) A8B9C10D11【答案】C【解析】先根据和项求通项，再根据成等差数列解得通项公式，根据裂项相消法求，最后解不等式得结果.【详解】因为成等差数列,所以因此由得因此最小正整数的值为10，故选：C【点睛】本题考查和项求通项以及利用裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.12已知数列的前项和为,且,则满足的的最小值为( )A4B5C6D7【答案】A【解析】先根据和项与通项关系求通项，再求和，最后解不等式得结果.【详解】相减得，由得当时，当时的最小值为4故选：A【点睛】本题考查和项求通项以及利用等比数列求和公式求和，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_.【答案】【解析】【详解】试题分析：设三角形的三边长为a-4,b=a,c=a+4,(abc),根据题意可知三边长构成公差为4的等差数列，可知a+c=2b ,C=120,，则由余弦定理，c= a+ b-2abcosC，, 三边长为6,10,14，,b= a+ c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB, cosB=，sinB=可知S=.【考点】本试题主要考查了等差数列与解三角形的面积的求解的综合运用。点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来求解，以及边角关系的运用，正弦面积公式来求解。巧设变量a-4,a,a+4会简化运算。14在等差数列中,若,则S15 =_.【答案】【解析】先根据等差数列求，再根据等差数列求和公式得结果.【详解】由等差数列的性质,得,解得故答案为：720【点睛】本题考查等差数列性质以及等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.15已知数列满足则_【答案】【解析】根据累加法求通项.【详解】故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求通项，考查基本分析求解能力，属基础题.16在中，若，则角_【答案】【解析】分析：由正弦定理可得，结合余弦定理得，从而得，结合左右两边式子的有界性可得，从而得解.详解：由正弦定理，由，可得.由余弦定理可得，代入上式得：.所以.因为.所以.解得.故答案为：.点睛：解三角形问题，主要是确定选用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面积，一般可根据已知条件和要求的问题确定，本题由正弦定理角化边,再由余弦定理，这样才能达到迅速化简的目的.三、解答题17的内角的对边分别为,已知.(1)求的值;(2)若的面积为,求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）根据余弦定理求的值;（2）先根据三角形面积得，再根据余弦定理得结果.【详解】（1）,（2）由(1)知, ,【点睛】本题考查三角形面积以及余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.18在中，角，所对的边分别为，已知.（1）求角；（2）若点在边上，且，的面积为，求边的长.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】（1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得，故.（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.【试题解析】（1）由及正弦定理可得，故，而，所以，即（2）由及可得是正三角形.由的面积为可得，即，故，在中，由余弦定理可得，即.19在等差数列中, ,a4=12,其前项和为,等比数列的各项均为正数,bn的前3项和为13.(1)求与;(2)证明：.【答案】（1）,； （2）见解析.【解析】（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解出结果代入等差数列与等比数列通项公式得结果，（2）先根据等差数列求和公式求，再根据裂项相消法求和，证得结论.【详解】(1)设等差数列的公差为.,， 或 (舍),.故,.(2).证明：，从而，即.【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及利用裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.20设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为已知，（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【详解】解：（1）设a1a，由题意可得，解得，或，当时，an2n1，bn2n1；当时，an（2n+79），bn9；（2）当d1时，由（1）知an2n1，bn2n1，cn，Tn1+3579（2n1），Tn1357（2n3）（2n1），Tn2（2n1）3，Tn6【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题21在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2BcosB1cosAcosC.（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若b2，求ABC的面积的最大值【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）根据正弦定理，结合等比数列的定义即可得到结论（2）由，可得，利用余弦定理求得的最小值，可得 的最大值由的面积 可得它的最大值详解：（1）证明：在ABC中，cosBcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC， sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化简，得sin2BsinAsinC.由正弦定理，得b2ac， a，b，c成等比数列 （2）由(1)及题设条件，得ac4.则cosB， 当且仅当ac时，等号成立0B，sinB. SABCacsinB4.ABC的面积的最大值为.点睛：本题主要考查等比数列的判断以及正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，要求熟练掌握相应的公式，属于中档题22设数列的前项和为,满足,且，成等差数列.(1)求，的值;(2) 是等比数列(3)证明:对一切正整数,有.【答案】解：（1）（2），是首项为3，公比为3的等比数列（3）放缩法.【解析】试题分析：解：（1）（2）由得相减得是首项为3，公比为3的等比数列（3）因为,所以,所以,于是.【考点】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，应用“放缩法”证明不等式。点评：基础题，首先利用的关系，确定得到的通项公式，进一步利用“放缩法”，将给定和式放大成为等比数列的和，得到证明不等式的目的。这一思想常常应用于涉及“和式”的不等式证明中。第 13 页 共 13 页