2019-2020学年重庆市南开中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1已知集合, ,则( )ABCD【答案】A【解析】分别求出与中不等式的解集确定出与，找出两集合的交集即可.【详解】解：由中不等式变形得：，得到，即，由中不等式变形得：，得到，即，则，故选：A.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2已知函数，则的解析式为ABCD【答案】B【解析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.【详解】令,则，所以即 .【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.3下列函数中,既是偶函数,又在区间上是单调递减的函数是( )ABCD【答案】D【解析】利用单调性和奇偶性的概念逐一判断即可.【详解】函数是奇函数，故排除A；函数在区间上单调递增，故排除B；函数，当时，当时，此时，函数在区间上不是单调递减函数，故排除C；函数既是偶函数，又在区间上单调递减，故满足条件.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.4已知,则( )ABCD【答案】C【解析】容易得出，从而得出的大小关系.【详解】解：，且，则；，故，故选：C.【点睛】本题考查指数式，对数式的大小比较，考查函数单调性的应用，是基础题.5函数的值域为( )ABCD【答案】C【解析】令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解.【详解】解：令，令，则，原函数化为，该函数在上为减函数，在上为增函数，又当时，当时，当时，.函数的值域为，则函数的值域为.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.6已知是定义域为的奇函数,当时,则不等式的解集是( )ABCD【答案】B【解析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式.【详解】解：若，则，当时，是定义域为的奇函数，即，.若，即，由得，解得或，此时；若，即，由得，解得，此时，综上不等式的解为或.即不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.7若存在负实数使得关于的方程有解,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】由已知，将分离得出.令，的取值范围为在的值域.【详解】解：由已知，将分离得出.令.因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数.所以，的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查参数的取值范围，利用了函数与方程的思想，转化为在的值域是本题的关键.8已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为( )ABCD【答案】C【解析】根据是上的奇函数，以及即可得的周期，利用，从而得出的值.【详解】解：是定义在上的奇函数，且；的周期为4，且；，所以，故选：C.【点睛】考查奇函数、周期函数的定义及应用，是基础题.9函数的图象大致为( )ABCD【答案】A【解析】利用函数的奇偶性，以及特殊点代入排除可得答案.【详解】设函数，定义域关于原点对称，故函数为奇函数，排除C；又的值接近，选项A符合，故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，充分利用函数性质，以及特殊点排除是解决这类题的方法，是中等题.10设集合，集合若中恰含有一个整数 ，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】求出A中不等式的解集确定出A，由A与B交集中恰有一个整数，求出a的范围即可【详解】由A中不等式变形得：（x1）（x+3）0，解得：x3或x1，即A=x|x3或x1，如图为图中红色的实线部分，函数y=f（x）=x22ax1的对称轴为x=a0，f（3）=6a+80，f（1）=2a0, f（0）0,故其中较小的根为（-1，0）之间，另一个根大于1，f（1）0,要使AB恰有一个整数，即这个整数解为2，f（2）0且f（3）0，即,解得： ，即a，则a的取值范围为故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是已知函数的零点，求参的问题，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论11已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数 ,都有,则 ( )ABCD【答案】B【解析】根据题意，分析可得为常数，设，变形可得，分析可得，可解得的值，即可得的解析式，将代入可得答案.【详解】根据题意，是定义域为的单调函数，且对任意实数都有，则为常数，设，则，又由，即，解可得，则，则，故选：B.【点睛】本题考查函数的单调性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式，属于中等题.12已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】作出函数的图象，利用二次函数的对称性得出，利用对数的运算性质得出；化简条件，利用函数单调性进行求解即可.【详解】作函数的图象如图，方程有四个不同的解，且，由于二次函数的图象关于直线对称，所以，则，即，则即，则；当得或，则，故，则函数在时为减函数，当时，.因此，的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性、函数零点等基础知识，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题，利用数形结合是解决本题的关键.二、填空题13函数的值域是_.【答案】【解析】令，则，求出的范围，进而可得函数的值域.【详解】解：令，则，因为，则，故函数的值域是.故答案为：.【点睛】本题考查对数型复合函数的值域问题，利用换元法求出内层函数的值域是关键，是中等题.14函数在上为增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，得到在上单调递减，结合二次函数的的性质，即可得出【详解】因为是减函数，令，根据复合函数的单调性，函数在上单调递减，因此函数在上恒大于且单调递减函数是二次函数，因此只需对称轴且，解得：故本题正确答案为【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，属于基础题15已知分别是方程和的解,则 _.【答案】【解析】由题意得易知函数与函数的图象有且只有一个交点，从而可得，从而解得.【详解】解：，即又，；且函数与函数的图象有且只有一个交点，故答案为：10.【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题.16已知函数 (且)的最大值为,最小值为,则的值为_.【答案】【解析】设，得到为奇函数，得到，相加可得答案.【详解】解：，函数的定义域为，设，函数的定义域为，为奇函数，故答案为：2.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题.三、解答题17计算:(1) ;(2).【答案】(1);(2).【解析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可.【详解】解：(1) ；(2).【点睛】本题考查对数的运算性质和换底公式，是基础题.18已知函数.(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;(2)若函数的值域为,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】（1）由恒成立，可得恒成立，求出右边的最小值，即可求实数的取值范围；（2）函数值域为，则能取遍一切正实数，可求实数的取值范围.【详解】解：（1）由恒成立，可得恒成立，令，则恒成立，设，由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，即，；（2）函数值域为，则能取遍一切正实数，由（1）可得，.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，函数的值域的意义和应用，对勾函数的性质在求函数最值中的应用，属中档题.19已知为常数且,函数满足,且关于的方程有两个相等的实根.(1)求函数的值域;(2)设集合,若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1) 由可得之间的关系，然后由有两个相等的实数根可得，从而可求，进而可求函数解析式；(2)求出集合，利用二次函数零点的分布问题列不等式求解.【详解】(1)由题意有等根,即,又,从而,故函数的值域为;(2),设,其对称轴为,要满足,只需，解得.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的应用，函数与方程的思想的相互转化，属于基础题.20已知,函数.(1) 当时,解不等式；(2)设,若对任意的及任意的,都有成立,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】(1) 原不等式为，解不等式即可；(2)由题转化为,，根据单调性，可得恒成立，通过参变分离转化为对任意的恒成立，求出最值即可.【详解】(1)原不等式，或；(2)由题意,有,，在上单调递减,，即，即，对任意的恒成立，又，当时，当时，令，则对于函数，由对勾函数的性质知在上单调递减，故，综上可得，实数.【点睛】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用对勾函数单调性求最值是解决本题的关键，综合性较强，是一道中档题.21已知函数是奇函数.(1)求实数的值;(2)设函数,是否存在非零实数,使得方程恰好有两个解?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1)1;(2)存在,.【解析】（1）由奇函数性质得，由此能求出.（2）先假设存在，然后将方程恰好有两个解的问题转化为当时,方程在有两个不等的实根；当时,方程在有两个不等的实根，利用根的分布问题来来解答.【详解】（1）因是奇函数,故恒成立,即.所以.当时,定义域关于原点不对称,不满足要求,舍去；当时,定义域为满足要求.综上知.(2)假设存在非零实数使得方程恰好有两个解.而且，当时,问题转化为方程在有两个不等的实根,令,则有,此不等式组无解；当时,问题转化为方程在有两个不等的实根,则有,解得，综上知,存在，使得方程恰好有两个解.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查函数是否有两个零点的判断与求法，转化为二次函数的零点分布问题是关键，是中档题，解题时要认真审题.22已知函数f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函数(1)求k