晋冀鲁豫中原名校2020届高三数学第三次联考试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由，则.故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合并集的求法，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.2.设为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简题目所给表达式为的形式，由此得出正确选项.【详解】.故选C.【点睛】本小题主要考查复数乘法的运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知是第四象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据的正弦值和角所在的象限，求得的值，根据两角差的正切公式求得所求表达式的值.【详解】因为，且为第四象限角，则，故选D.所以.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于基础题.4.设满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出可行域，利用的几何意义，求得的最小.【详解】由图知的最小值为原点到直线的距离，则最小距离为.故选D.【点睛】本小题主要考查非线性目标函数的最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.已知，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的单调性判断的大小关系，由判断出三者的大小关系.【详解】由，则.故选C.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为，则的值为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原为原图.利用几何体的表面积列方程，解方程求得的值.【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱，其中，则，所以该几何体的表面积为，得.故选B.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.7.1876年4月1日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在直角三角形中，求得的表达式，利用计算出所求的概率.【详解】在直角中，则，故选C.【点睛】本小题主要考查几何概型，考查三角形的面积公式，考查梯形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.8.若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函数的导数，对分成两种情况，根据函数的单调区间以及零点存在性定理列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】.当时，若，则，此时函数在区间上单调递增，不可能有两个零点；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，若函数在区间内有两个零点，有，得.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】由S=0,n=1,第一次循环:S=0+,n=2;第二次循环:S=+ =,n=3;第三次循环:S=+=,n=4; 第四次循环:S=+=,n=5; 第五次循环:S=+ =, n=6;第六次循环:S=+ =,n=7; 第七次循环:S=+ =,n=8;符合题意输出n=8,故选C.10.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.如图，在正方体中，点是线段上的动点，点为正方体对角线上的动点，若三棱锥的体积为正方体体积的，则直线与底面所成角的正切值为（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据线面角的定义作出直线与底面所成的角，根据三棱锥的体积和正方体的体积关系列方程，求得到底面的距离，进而求得线面角的正切值.【详解】设正方体的边长为1，连，在上取一点，使得.由底面，得底面，直线与底面所成的角为，记为，则.又由，则，得，可得，则.故选A.【点睛】本小题主要考查线面角的正切值的求法，考查线面角的概念，考查空间想象能力，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不妨设，根据椭圆的定义求得，的值.在中由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，由此求得椭圆的离心率.【详解】设，则，得，则.在中，由余弦定理有.在中，由余弦定理有，则椭圆的离心率为.故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查利用余弦定理解三角形，考查椭圆的定义，属于中档题.二、填空题。13.已知向量，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值，由此求得的坐标，进而求得的模.【详解】由，得，即，则，所以.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量加法的坐标运算，考查向量模的计算，属于基础题.14.函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】利用降次公式和辅助角公式化简函数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】由，当时，则，所以.【点睛】本小题主要考查降次公式、辅助角公式应用，考查三角函数求值域的方法，属于基础题.15.在中，角，的对边分别为，且，的面积为，则周长的最小值为_.【答案】6【解析】【分析】根据正弦定理化简题目所给表达式，求得的值，由此求得的大小，根据三角形的面积公式得到，利用基本不等式和余弦定理求得的最小值，进而求得的最小值.【详解】由，得，即，因为，所以，所以，所以.由，得，（当且仅当时，“”成立），则，可得，故.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用基本不等式求和的最小值，属于中档题.16.已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】分析】根据为偶函数可得图像关于对称.由此求得，构造函数，利用导数研究的单调性，由将原不等式转化为，由此求得的取值范围.【详解】为偶函数，的图象关于对称，的图像关于对称，.又，.设，则.又，在上单调递减.，即.又，.【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数图像变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.【答案】（1）（2）；最大值为.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想将已知转化为的形式，由此求得，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，根据等差数列前项和公式求得，再利用二次函数的性质求得的最大值.【详解】解：（1）设数列的公比为，若，有，而，故，则，解得.故数列的通项公式为.（2）由，则.由二次函数的对称轴为，故当或15时有最大值，其最大值为.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解等比数列的通项公式，考查等差数列的识别，考查等差数列前项和公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.18.某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元.现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：维修次数56789频数（台）50100150100100记表示一台仪器使用期内维修的次数，表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.（1）若，求与的函数关系式；（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求的概率.（3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断购买7次还是8次维修服务？【答案】（1）（2）0.7（3）应该购买7次维修服务.【解析】【分析】（1）分别求得和时，关于的表达式，由此求得与的函数关系式.（2）利用的频数和除以，得到所求的概率.（3）分别计算出购买次和次所需费用的平均数，由此判断出应该购买此维修服务.【详解】解：（1）当时，；当时，.故与的函数关系式为.（2）的概率为.（3）购买7次维修服务所需的平均费用为.购买8次维修服务所需的平均费用为.因为，故应该购买7次维修服务.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查古典概型概率计算，考查平均数的计算，考查阅读与理解能力，属于中档题.19.如图，在多面体中，四边形和四边形是两个全等的等腰梯形.（1）求证：四边形为矩形；（2）若平面平面，求多面体的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到且，由此证得四边形为平行四边形. 分别取，的中点，连接，通过证明四点共面，且，且相交，由此证得平面，从而证得,由此证得四边形为矩形.（2）连结，作，垂足为，则.先证明平面，然后证明平面，由此求得点到平面的距离、点到平面的距离，分别求得和的体积，由此求得多面体的体积.【详解】（1）证明：四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，且，四边形为平行四边形.分别取，的中点，.，为的中点，同理，.为中点，为的中点，且.，四点共面，且四边形是以，为底的梯形.，且，是平面内的相交线，平面.平面，又，.四边形为矩形.（2）解：连结，作，垂足为，则.，.在中，.，平面，平面，平面.平面平面，平面平面，平