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2.5相交弦定理1.掌握相交弦定理及其证明过程.2.能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.基础初探教材整理相交弦定理图12104(1)文字叙述圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.(2)图形表示如图12104,弦AB与CD相交于圆内一点P,则有:PAPBPCPD.1.在O中,弦AB和CD相交于点P,PA3 cm,PB5 cm,PC2.5 cm,则弦CD的长为() 【导学号:96990033】A.6 cmB.7.5 cmC.8 cmD.8.5 cm【解析】利用相交弦定理,得PAPBPCPD,即352.5PD,所以PD6 cm.所以PDPCCD8.5 cm.【答案】D2.圆内两条弦AB和CD相交于P点,AB8,AB把CD分成长为3和4两部分,求AP.【解】设APx,则BP8x,由相交弦定理得x(8x)34,x2或6,即AP2或AP6.质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: 小组合作型相交弦定理的简单应用如图12105,已知在O中,P是弦AB的中点,过点P作半径OA的垂线分别交O于C,D两点,垂足是点E.求证:PCPDAEAO.图12105【精彩点拨】由相交弦定理知PCPDAPPB,又P为AB的中点,PCPDAP2.在RtPAO中再使用射影定理即可.【证明】连接OP,P为AB的中点,OPAB,APPB.PEOA,AP2AEAO.PDPCPAPBAP2,PDPCAEAO.1.相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切,也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明.2.由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦,且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.再练一题1.如图12106,已知AB是O的直径,OMON,P是O上的点,PM,PN的延长线分别交O于Q,R.求证:PMMQPNNR.图12106【证明】OMON,OAOB,AMBN,BMAN,AMBMANBN,又PMMQAMBM,PNNRANBN,PMMQPNNR.相交弦定量的综合应用如图12107,ABC内接于O,P是ABC的高CE的延长线上一点,PC交O于D,若PA2PDPC,AE2,CE3,cosACB,求BE的长.图12107【精彩点拨】由PA2PDPC知PA是O的切线,ACB等于PAE,则PA可求,在RtAPE中PE可求,由切割线定理求出PD,进而求出DE,再由相交弦定理求BE.【自主解答】由PA2PDPC,知PA是O的切线,PAEACB.PCAB,AEP90.又cosACB,在RtPAE中,cosPAE.AE2,PA6.在RtPAE中,PE4,PCPECE437,PA2PDPC,PD,DEPEPD4.AEBEDECE,BE.1.解答本题时应注意所求与已知的关系,通过所求明确已知转化的方向,从而求得结论.2.在实际应用中,见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理,见到切线和割线时要想到切割线定理及推论.再练一题2.如图12108所示,已知O1和O2相交于A,B两点,过点A作O1的切线,交O2于点C,过点B作两圆的割线分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P.图12108(1)求证:PAPEPCPD;(2)当AD与O2相切且PA6,PC2,PD12时,求AD的长.【解】(1)证明:连接AB,CE,CA切O1于点A,1D.又1E,DE.又23,APDCPE.,即PAPEPCPD.(2)PA6,PC2,PD12.6PE212,PE4.由相交弦定理,得PEPBPAPC.4PB62,PB3.BDPDPB1239,DEPDPE16.DA切O2于点A,DA2DBDE,即AD2916,AD12.探究共研型相交弦定理、切割线定理、切线长定理的关系探究1相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系?【提示】相交弦定理中两弦的交点在圆内,若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论.若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理,最后两条割线都变成切线便得到切线长定理,这些变化充分体现了运动变化的思想.探究2应用相交弦定理应注意什么?【提示】相交弦定理中要求是两条相交弦,对于多条弦相交且不交于同一点时,要两条两条的利用定理方可.如图12109所示,已知PA与O相切,A为切点,PBC为割线,弦CDAP,AD,BC相交于E点,F为CE上一点,且DE2EFEC.图12109(1)求证:PEDF;(2)求证:CEEBEFEP;(3)若CEBE32,DE6,EF4,求PA的长.【精彩点拨】本题考查切割线定理、相交弦定理.以及相似三角形的判定与性质与切线长定理的综合应用.解答本题需要分清各个定理的适用条件,并会合理利用.【自主解答】(1)证明:DE2EFEC,DECEEFED.DEF是公共角,DEFCED.EDFC.CDAP,CP.PEDF.(2)证明:PEDF,DEFPEA,DEFPEA.DEPEEFEA.即EFEPDEEA.弦AD,BC相交于点E,DEEACEEB.CEEBEFEP.(3)DE2EFEC,DE6,EF4,EC9.CEBE32,BE6.CEEBEFEP,964EP.解得:EP.PBEPBE6,PCEPCE9,又AP2BPPC,PA.相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理,在与圆有关的问题中经常用到,这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长,而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系,这两者的结合,往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题.因此,在实际应用中,见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理;见到两条割线要想到割线定理;见到切线和割线要想到切割线定理.再练一题3.如图12110所示,已知:从圆外一点P,作切线PA.A为切点,从PA的中点B作割线BCD,交圆于C,D,连接PC,PD,分别交圆于E,F.求证:EFPA.图12110【证明】PBA是圆的切线,BCD是圆的割线.BA2BCBD.又B为PA中点,PBBA.即PB2BCBD,.又PBCDBP,BPCBDP,BPCD.又ED,BPCE,EFPA.构建体系1.如图12111所示,O的两条弦AB,CD相交于点E,AC和DB的延长线交于点P,下列结论成立的是()图12111A.PCCAPBBDB.CEAEBEEDC.CECDBEBAD.PBPDPCPA【解析】由切割线定理的推论知PBPDPCPA,故选项D正确.【答案】D2.如图12112,A,B是圆O上的两点,且OAOB,OA2,C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,则CD_. 【导学号:96990034】图12112【解析】延长CO交圆于点E,依题意得,BC,BCCDCACE,CD13,因此CD.【答案】3.O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE6 cm,BE2 cm,CD7 cm,那么CE_cm.【解析】AB与CD相交于E,AEBECEDE.AE6 cm,BE2 cm,CD7 cm,DECDCE7CE.62CE(7CE),即CE27CE120,CE3(cm)或CE4(cm).【答案】3或44.如图12113所示,A为O上一点,A和O相交于C,D,两圆的连心线交A于E,F,交O于A,B,交CD于G.图12113求证:AGBGEGFG.【证明】由相交弦定理得AGBGCGGD,CGGDEGFG,AGBGEGFG.我还有这些不足:(1) (2) 我的课下提升方案:(1) (2) - 9 -
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