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2020届高三年级第二学期周考(13)数 学 试 题注意事项:1本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分3答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上参考公式:锥体体积公式:,其中为底面积,为高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1已知全集,集合,则= 2设复数满足(为虚数单位),则 3某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人,为了解不同年级学生的眼睛近视情况,现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本,则高三年级应抽取的学生人数为 4若命题“”是假命题,则实数的取值范围是 第6题图5甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为:甲组:88、89、90;乙组:87、88、92. 如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是 6执行如图所示的伪代码,输出的值为 7设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则= 8设满足,则的最大值为 9将函数的图象向左平移个单位后,恰好得到函数的的图象,则的最小值为 10已知直三棱柱的所有棱长都为2,点分别为棱的中点,则四面体的体积为 11设数列的首项,且满足与,则 12若均为非负实数,且,则的最小值为 13已知四点共面,则的最大值为 14若实数满足,则 二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15(本小题满分14分)第15题图如图,在四棱柱中,平面底面,且.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.16(本小题满分14分)设面积的大小为,且.(1)求的值;(2)若,求17. (本小题满分14分)ABCDE第17题图FO一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施,其轴截面如图中实线所示. 是等腰梯形,米,(在的延长线上,为锐角). 圆与都相切,且其半径长为米. 是垂直于的一个立柱,则当的值设计为多少时,立柱最矮?18(本小题满分16分)已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点,点为椭圆上一动点,当轴时,.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆存在点,使得四边形是平行四边形(点在第一象限),求直线与的斜率之积;(3)记圆为椭圆的“关联圆”. 若,过点作椭圆的“关联圆”的两条切线,切点为、,直线的横、纵截距分别为、,求证:为定值.19(本小题满分16分)设函数.(1)若函数是奇函数,求实数的值;(2)若对任意的实数,函数(为实常数)的图象与函数的图象总相切于一个定点. 求与的值; 对上的任意实数,都有,求实数的取值范围.20(本小题满分16分)已知数列,都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列.(1)设数列、分别为等差、等比数列,若,求;(2)设的首项为1,各项为正整数,若新数列是等差数列,求数列 的前项和;(3)设(是不小于2的正整数),是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是?若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.江苏省海头高中2020届高三年级第二学期周考(12)数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21(在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) A.(选修41:几何证明选讲)ACDBEFO第21(A)图已知是圆两条相互垂直的直径,弦交的延长线于点,若,求的长.B.(选修42:矩阵与变换)已知矩阵所对应的变换把曲线变成曲线1,求曲线的方程C(选修44:坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线的极坐标方程为. 以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(为参数). 若直线与圆相切,求的值.D(选修45:不等式选讲) 已知为正实数,且,证明:.(第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)22(本小题满分10分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为的等边三角形,在上,且面.(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.ABCDPM第22题图23(本小题满分10分) 一只袋中装有编号为1,2,3,n的n个小球,这些小球除编号以外无任何区别,现从袋中不重复地随机取出4个小球,记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为,如,或,或或,记的数学期望为.(1)求,;(2)求.盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1. 2. 2 3. 35 4. 5. 6. 7 7. 8. 1 9. 10. 11. 2056 12. 3 13.10 14. 二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15证明:(1)在四棱柱中,有. 4分又平面,平面,所以平面. 6分(2)因为平面底面ABCD,交线为,底面ABCD,且,所以平面. 12分又平面,所以平面平面. 14分16解:(1)设的三边长分别为,由,得,得. 2分即,所以. 4分又,所以,故. 6分(2)由和,得,又,所以,得 . 8分又,所以. 10分 在中,由正弦定理,得,即,得.12分联立,解得,即. 14分17解:方法一:如图所示,以所在直线为轴,以线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系.因为,所以直线的方程为,即. .4分设圆心,由圆与直线相切,得,所以. .8分令,则,.10分设,. 列表如下:0减极小值增所以当,即时,取最小值. .13分答:当时,立柱最矮. .14分方法二:如图所示,延长交于点,过点作于, 则,. 在中,. .4分 在中,. .6分 所以. .8分(以下同方法一)18解:(1)由轴,知,代入椭圆的方程,得,解得. .2分又,所以,解得. .4分(2)因为四边形是平行四边形,所以且轴,所以,代入椭圆的方程,解得, .6分因为点在第一象限,所以,同理可得, .7分所以,由(1)知,得,所以. .9分(3)由(1)知,又,解得,所以椭圆方程为,圆的方程为 . .11分连接,由题意可知, ,所以四边形的外接圆是以 为直径的圆,设,则四边形的外接圆方程为,即. .13分,得直线的方程为,令,则;令,则. 所以,因为点在椭圆上,所以,所以. .16分19解:(1)因为函数是奇函数,所以恒成立,2分即,得恒成立,. 4分(2) ,设切点为,则切线的斜率为,据题意是与无关的常数,故,切点为6分由点斜式得切线的方程为,即,故. 8分 当时,对任意的,都有;当时,对任意的,都有;故对恒成立,或对恒成立.而,设函数.则对恒成立,或对恒成立, 10分,当时, ,恒成立,所以在上递增, ,故在上恒成立,符合题意. 12分当时,令,得,令,得,故在上递减,所以,而设函数,则,恒成立, 在上递增,恒成立, 在上递增, 恒成立,即,而,不合题意.综上,知实数的取值范围. 16分20解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由题意得,解得或,因数列单调递增,所以,所以,所以,.2分因为,所以. .4分(2)设等差数列的公差为,又,且,所以,所以. 因为是中的项,所以设,即.当时,解得,不满足各项为正整数; .6分当时,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列中的项,所以; .8分当时,此时,只需取,由,得,是奇数, 是正偶数,有正整数解,所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以. .10分综上所述,数列的前项和或. .11分(3)存在等差数列,只需首项,公差. .13分下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数,都有,即成立.,.所以首项,公差的等差数列符合题意. .16分附加题答案B、设曲线C上任一点为(x,y),经过变换T变成,则,即 . 6分又,得 . 10分C、解:由题意得,直线的直角坐标方程为,
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