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南昌二中2020届高三第三次考试数学(理)试卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足(为虚数单位),则复数的虚部为( )A3 B-3i C3i D-32. 函数的定义域为,函数的定义域为, 则 ( )A. B. C. D. 3. 等差数列中,则( )A8 B6 C4 D3 4. 函数的图象如图所示,为了得到的图象,则只将的图象( )A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位 5.已知是定义域为的奇函数,满足若,则( )A-2020 B0 C2 D506. 数列的前项和为,对任意正整数, ,则下列关于的论断中正确的是( )A一定是等差数列 B一定是等比数列C可能是等差数列,但不会是等比数列 D可能是等比数列,但不会是等差数列7. 曲线在点处的切线的斜率为2,则的最小值是( )A10 B9 C8 D 8. 若实数满足约束条件,目标函数 仅在点处取得最小值,则实数的取值范围是( )A B C D 9设向量满足,则的最大值等于( )A. B.1 C. 4 D.210. 设函数 ,若方程恰好有三个根,分别为 ,则的值为( )A B C D 11. 函数,若成立,则的最小值是( ) A B C D 12. 若函数有一个极值点为,且,则关于的方程的不同实数根个数不可能为( ) A2 B. 3 C4 D5 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 向量的夹角为,且则_14. 定积分_.15.如图, 是直线上的三点, 是直线外一点,已知, , 则=_.16.若关于的方程存在三个不等实根,则实数的取值范围是_.三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)若实数的最大值为,正数满足,求的最小值.18.(本小题满分12分)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,(1)若,求ABC的面积SABC;(2)若是边中点,且,求边的长19.(本小题满分12分)已知数列的前项和满足,且成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20. (本小题满分12分)已知 ,若,且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.(1)求的取值范围.(2)若当取最大值时, ,且在中, 分别是角的对边,其面积,求周长的最小值.21. (本小题满分12分)已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点的直线交轨迹于, 两点,直线, 分别交直线于点, ,证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值,并求出此定值. 22. (本小题满分12分)函数(1)讨论函数的单凋性;(2)若存在使得对任意的不等式(其中e为自然对数的底数)都成立,求实数的取值范围南昌二中2020届高三第三次考试数学(理)试卷参考答案DBDAC CBBDD AA 6 1. 复数满足(为虚数单位),则复数的虚部为( )A B C D 【解】,复数z的虚部为. 本题选择D选项.2.函数的定义域为,的定义域为, 则( )A. B. C. D. 【解】选择B3. 等差数列中,则( )A8 B 6 C 4 D 3 【解】D4. 函数的图象如图所示,为了得到的图象,则只将的图象( )A 向左平移个单位 B 向右平移个单位C 向左平移个单位 D 向右平移个单位 【答】A【解析】,所以将的图象向左平移个单位得到,选A5已知是定义域为的奇函数,满足若,则( )A B 0 C 2 D 50【答案】C【解析】f(x)是奇函数,且f(1x)=f(1+x),f(1x)=f(1+x)=f(x1),f(0)=0,则f(x+2)=f(x),则f(x+4)=f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(12)=f(1)=f(1)=2,f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+02+0=0,则=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2020)+f(2020)=f(1)+f(2)=2+0=2,6. 数列的前项和为,对任意正整数, ,则下列关于的论断中正确的是( )A 一定是等差数列 B 一定是等比数列C 可能是等差数列,但不会是等比数列 D 可能是等比数列,但不会是等差数列【答】C【解】an+1=3Sn,Sn+1Sn=3Sn,Sn+1=4Sn,若S1=0,则数列an为等差数列;若S10,则数列Sn为首项为S1,公比为4的等比数列,Sn=S14n1,此时an=SnSn1=3S14n2(n2),即数列从第二项起,后面的项组成等比数列。综上,数列an可能为等差数列,但不会为等比数列。7. 曲线在点处的切线的斜率为2,则的最小值是( )A 10 B 9 C 8 D 【答案】B【解析】根据导数的几何意义, ,即=()=+52+5=4+5=9,当且仅当即时,取等号.所以的最小值是9.8. 若实数满足约束条件,目标函数 仅在点处取得最小值,则实数的取值范围是( )A B C D 【答案】B【解】 作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,将,化成,当时, 仅在点处取得最小值,即目标函数仅在处取得最小值,解得,故选B.9设向量满足,则的最大值等于( )A. B.1 C. 4 D.2【答】D【解】设 因为, ,所以四点共圆,因为,所以,由正弦定理知,即过四点的圆的直径为2,所以|的最大值等于直径210. 设函数 ,若方程恰好有三个根,分别为 ,则的值为( )A B C D 【答】D【解】 由,则, 画出函数的大致图象,如图所示, 得当时方程恰有三个根,由得;由得,由图可知, 与点关于直线对称; 点和点关于对称, 所以, 所以,故选D 11. 函数,若成立,则的最小值是( ) A B C D 【答案】A【解】设,则,令,则,是上的增函数,又,当时,当时,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,的最小值是故选A12. 若函数有一个极值点为,且,则关于的方 程的不同实数根个数不可能为( ) A B C D 【答案】A【解】由,由题意有两个不等实根,不妨设为,因此方程有两个不等实根,即或,由于是的一个极值,因此有两个根,而有1或2或3个根(无论是极大值点还是极小值点都一样,不清楚的可以画出的草图进行观察),所以方程的根的个数是3或4或5,不可能是213.已知向量的夹角为,且则_【解】614. 定积分_【答案】【解】 ,故15. 如图, 是直线上的三点, 是直线外一点,已知, , 则=_【答案】【解析】设 , ,则由可得 且 解得 则 16.若关于的方程存在三个不等实根,则实数的取值范围是_【答案】【解析】原方程可化为,令,则设,则得,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减故当时,函数有极大值,也为最大值,且可得函数的图象如下:关于的方程存在三个不等实根,方程有两个根,且一正一负,且正根在区间内令,则有,解得实数的取值范围是17. 已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)若实数的最大值为,正数满足,求的最小值.【解】(1)由在上恒成立,即恒成立(当且仅当时等号成立)(2)由(1)知,即,当且仅当的最小值是BCDA18.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,(1)若,求ABC的面积SABC;(2)若是边中点,且,求边的长 【答案】(1);(2)4.【解】(1),又,BCDAE所以, (2)以BA,BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE,如图,则,BE2BD7,CEAB5,在BCE中,由余弦定理: 即,解得:CB4 19. 已知数列的前项和满足,且成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答】(1)(2)【解】(1),所以,即(),即数列是以2为公比的等比数列,又成等差数列,所以,即,解得,所以数列的通项公式为.(2)由(1)得,所以,20. 已知 ,若,且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.(1)求的取值范围.(2)若当取最大值时, ,且在中, 分别是角的对边,其面积,求周长的最小值.【答案】(1)(2)6【解】(1)又由条件知,所以. (2)当取最大值1时, ,又,所以,故.在中, , 又由余弦定理有: 周长当且仅当时取得等号.所以, 周长的最小值为.21. 已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点的直线交轨迹于, 两点,直线, 分别交直线于点, ,证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值,并求出此定值.【答案】(I);(II)详见解析.【解】()设点的坐标为,因为定点在定直线: 的右侧,且动点到定直线: 的距离比到定点的距离大,所以且得,即,轨迹的方程为()设, (),则, , , 三点共线,又,直线的方程为,令,得同理可得所
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