3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)学习目标1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的_)形式在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得_作用定位置点A和向量a可以确定直线的_定点可以具体表示出l上的任意_(2)用向量表示平面的位置通过平面上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得xayb通过平面上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l，直线l的_叫做平面的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的_向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l，取直线l的_，n叫做平面的法向量(4)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lm_akb(kR)线面平行la_面面平行v_知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1l2，则向量v1，v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一求直线的方向向量、平面的法向量例1如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组.(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB平面ABCD，PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.ABC60，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.类型二利用空间向量证明平行问题例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.1.若点A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是_.2.已知向量n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是_.(填序号)n1(0，3,1)；n2(2,0,4)；n3(2，3,1)；n4(2,3，1).3.已知向量n(1,3,1)为平面的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点.P(x，y，z)为平面内任一点，则x，y，z满足的关系式是_.4.若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m为_.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_.1.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR).答案精析问题导学知识点一思考(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.(2)直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.对于直线l上的任一点P，在直线上取a，则存在实数t，使得t.(3)平面：空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P，a，b是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得xayb.空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理(1)方向向量t位置一点(2)方向向量(3)非零方向向量n(4)aba0kv(kR)知识点二思考(1)由直线方向向量的定义知若直线l1l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1l2v1v2v1v2(R).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.题型探究例1解因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0)，E(0，)，B(1,0,0)，C(1，0)，于是(0，)，(1，0).设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y1，则xz.所以平面ACE的一个法向量为n(，1，).引申探究解如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，0)，所以(1，1)，即为直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n(x，y，z).因为D(0，0)，所以(0，1).由即所以令y1，则z.所以平面PCD的一个法向量为n(0,1，).跟踪训练1解连结PF，CF，AC.因为PAPB，F为AB的中点，所以PFAB，又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB.所以PF平面ABCD，因为ABBC，ABC60，所以ABC是等边三角形，所以CFAB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意得F(0,0,0)，P(0,0，)，D(1，0)，C(0，0)，E(0，).所以(0，)，(1，0).设平面DEF的法向量为m(x，y，z).则即所以令y2，则x，z2.所以平面DEF的一个法向量为m(，2，2).例2证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1).设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2).因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟踪训练2解分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设存在满足题意的点E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)(0,2,0)0.y1，代入得z，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.当堂训练1.(2,4,6)2.3.x3yz404.85.(1,1,1)(答案不惟一)9