31 数学归纳法原理读教材填要点1数学归纳法原理对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题p(n)，可以用以下两个步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取初始值n0(例如n00，n01等)时命题成立；(2)假设当nk(k为自然数，且kn0)时命题正确，证明当nk1时命题也正确在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确2数学归纳法的基本过程小问题大思维1在数学归纳法中，n0一定等于0吗？提示：不一定n0是适合命题的自然数中的最小值，有时是n00或n01，有时n0值也比较大，而不一定是从0开始取值2数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明3数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证nn0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有自然数也都成立用数学归纳法证明恒等式例1用数学归纳法证明：1(nN)思路点拨本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由k到k1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“nk”到“nk1”时，要注意项的合并精解详析(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk(k1，且kN)时命题成立，即有1.则当nk1时，左边1，从而可知，当nk1时，命题亦成立由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述nn0时命题的形式，二是准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点(2)应用数学归纳法时的常见问题第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n0，有时需验证n1，n2.对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范1用数学归纳法证明：对任意的nN，.证明：(1)当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN等式都成立用数学归纳法证明整除问题例2求证：二项式x2ny2n(nN)能被xy整除思路点拨本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2ny2n进行分解因式得出xy，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明精解详析(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除(2)假设nk(k1，且kN)时，x2ky2k能被xy整除，当nk1时，即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k2y2k2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出nk时的归纳假设，剩余部分仍能被xy整除2求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除证明：(1)当n1时，13(11)3(12)336，能被9整除，命题成立(2)假设nk时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)由归纳假设，上式中k3(k1)3(k2)3能被9整除，又9(k23k3)也能被9整除故nk1时命题也成立由(1)(2)可知，对任意nN*命题成立.用数学归纳法证明几何命题例3平面上有n(n2，且nN)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线被分成f(n)n2.思路点拨本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明精解详析(1)当n2时，符合条件的两直线被分成4段，又f(2)224.当n2时，命题成立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线被分成f(k)k2段，则当nk1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，它们被分为f(k)k2段由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l被l1，l2，l3，lk分为k1段，同时l把l1，l2，lk中每条直线上的某一段一分为二，其增加k段f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2成立对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一般变化规律，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律3证明：凸n边形的对角线的条数f(n)n(n3)(n4)证明：(1)n4时，f(4)4(43)2，四边形有两条对角线，命题成立(2)假设nk时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)k(k3)(k4)当nk1时，凸k1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak1，增加的对角线条数是顶点Ak1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为(k13)1k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故nk1时由(1)、(2)可知，对于n4，nN公式成立对应学生用书P42 一、选择题1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，而右边应为2k11.答案：D2用数学归纳法证明：(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A2k1BC2(2k1) D解析：当nk1时，左边(k11)(k12) (k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1)答案：C3某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时，命题也成立现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：与“如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立”等价的命题为“如果当nk1时命题不成立，则当nk(kN)时，命题也不成立”故知当n5时，该命题不成立，可推得当n4时该命题不成立答案：C4用数学归纳法证明不等式1(nN)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10解析：左边12，代入验证可知n的最小值是8.答案：B二、填空题5设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于_解析：因为f(n)1，所以f(n1)1.所以f(n1)f(n).答案：6设平面内有n条直线(n2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数所以f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2)所以f(n)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)7已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n_时等式成立解析：nk(k2，且k为偶数)的下一个偶数为k2，根据数学归纳法的步骤可知再证nk2.答案：k28用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)sin cos (n，nN)，在验证n1等式成立时，左边计算所得的项是_解析：由等式的特点知：当n1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n1)，故左边计算所得的项是cos .答案：cos 三、解答题9用数学归纳法证明：.证明：(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk时，等式成立，即，则当nk1时，即当nk1时，等式成立根据(1)(2)可知，对一切nN，等式成立10用数学归纳法证明对于整数n0，An11n2122n1能被133整除证明：(1)当n0时，A011212133能被133整除(2)假设nk时，Ak11k2122k1能被133整除当nk1时，Ak111k3122k31111k2122