1 数系的扩充与复数的引入 数的概念的扩展已知方程(1)x22x20，(2)x210.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有问题3：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗？提示：有解xi，但不是实数1复数的概念2复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然RC.复数的相等问题1：若a，b，c，dR且ac，bd，复数abi和cdi相等吗？提示：相等问题2：若abicdi，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：ac，bd.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以问题2：复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量(a，b)有何对应关系？提示：一一对应关系问题4：复数zabi(a，bR)与有何对应关系？提示：一一对应1复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴(2)任一个复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的这是复数的几何意义一个复数zabi(a，bR)与复平面内的向量(a，b)是一一对应的2复数的模设复数zabi(a，bR)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|.1注意复数的代数形式zabi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部2表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系 复数的基本概念例1复数z(m23m2)(m2m2)i，当实数m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？思路点拨分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析(1)当m2m20，即m2或m1时，z为实数(2)当m2m20，即m2且m1时，z为虚数(3)当即m2时，z为纯虚数一点通(1)研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，初学者易忽略这一点(2)对于纯虚数的问题，除了实部为零之外，勿忘其虚部必须不为零1设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件答案：B2若复数z(x21)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1 D.1或1解析：由复数z(x21)i为纯虚数得解得x1.答案：A复数的相等例2(1)已知(2x1)iy(3y)i，x，yR，求x与y；(2)设z11sin icos ，z2(cos 2)i.若z1z2，求.思路点拨先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解精解详析(1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则2k(kZ)一点通(1)两个复数相等时，应分清楚两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解本题就是利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了化归的思想(2)注意(1)小题的条件x，yR，若x，y未说明是实数，则不能这样解，比如若x为纯虚数，则可设xbi(bR且b0)，然后再根据复数相等求相应的x，y.3若ai2bi(a，bR)，i为虚数单位，则a2b2()A0 B2C. D.5解析：由题意得则a2b25.答案：D4若关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，则实数m()A. B.iC D.i解析：因为关于x的方程x2(12i)x3mi0有实根，即x2(12i)x3mi0x2x3m(2x1)i0m，故选A.答案：A复数的几何意义例3实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点(1)位于第二象限；(2)位于直线yx上？思路点拨位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线yx上的点的横坐标等于纵坐标精解详析根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点就是点Z(a2a2，a23a2)(1)由点Z位于第二象限得解得2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(2,1)(2)由点Z位于直线yx上得a2a2a23a2，解得a1.故满足条件的实数a的值为1.一点通按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件5若复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 D.a2或a0解析：因为复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，所以a22a0，解得a0或a2.答案：D6已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量的坐标是()A(5,5) B(5，5)C(5,5) D.(5，5)解析：向量，对应的复数分别记作z123i，z232i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)答案：B7在复平面内，求复数z，使复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上解：(1)若复数z对应点在虚轴上，则m2m20，m1或m2，此时，z6i或z0.(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，则解得m1，z2.复 数 的 模例4设zC，判断满足下列条件的复数z对应的点Z的集合是什么图形(1)|z|2；(2)|z|3.精解详析法一：(1)复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆(2)满足条件|z|3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部法二：设zxyi(x，yR)(1)|z|2，x2y24，点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆(2)|z|3，x2y29.点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部一点通(1)解决此类问题有两种方法：根据|z|表示点Z和原点间的距离，把复数条件转化为几何条件；设出复数，利用模的定义，把复数方程(不等式)转化为实数方程(不等式)(2)设出复数，把复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想8设复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()Aa1 B1a1 D.a0解析：|z1| ，|z2|， ，即a245，a21，即1a，|z1|z2|.1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数bi(b0，bR)不要只记形式，要注意b0.2复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数zabi(a，bR)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用图表示 1复数1i2的实部和虚部分别是()A1和i Bi和1C1和1 D.0和0解析：1i2110，故选D.答案：D2当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D.第四象限解析：m0，m10，则实数m的值为_解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m21)(m22m)i应为实数，得解得m2.答案：27已知复数z(m23m)(m2m6)i，当实数m为何值时，z是实数；z46i；z对应的点在第三象限？解：z(m23m)(m2m6)i.令m2m60m3或m2，即m3或m2时，z为实数m4.即m4时z46i.若z所对应的点在第三象限，则0m3.即0m3时z对应的点在第三象限8在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系解：根据复