南阳一中2020级高三第八次考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】， 故选A.2. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 .故选C.3. 设等差数列的前项和为，且，则( )A. 8 B. 12 C. 16 D. 20【答案】B【解析】由题，等差数列中， 则 故选B.4. 抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. 1 C. D. 【答案】D【解析】， ，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.5. 从图中所示的矩形区域内任取一点，则点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】阴影部分的面积为 矩形的面积为2，故点取自阴影部分的概率为.故选B.6. 函数的大致图象是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，则函数在 上单调递增，在和上单调递减，且 故选C7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形，是直角梯形， ，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即平面 所以几何体的体积为： 故选A【点睛】本题考查几何体的三视图，几何体的表面积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键8. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数f（x）=sinxcosx（0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于， 函数f（x）=sin4xcos4x=2sin（4x）；若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）=2sin（4x+）的图象令2k+4x+2k+，可得 kZ，当k=0时，故函数g（x）的减区间为。故答案为B 。9. 下图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本平均数 ，由于“输出 ”即为平均数，循环体的功能是求各样本的平均值，故应为.故选D.10. 若函数满足且的最小值为4，则实数的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C【解析】由约束条件作出可行域（如图），当目标函数经过可行域内的点 时， 取得最小值，即 ，解之得 故选C.11. 设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】|PQ|=2|QF|，PQF=60，PFQ=90，设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，由对称性可知，F1PFQ为矩形，且 故。故答案为：A。12. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数有三个不同的零点等价于方程有三个不同的实根，当时， 设，则为减函数， 当时，设 ，则 当时当时，故 在上单调递增，在上单调递减； 分别画出 与的图像如图所示，由题意得 ，故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若，则的最小值为_.【答案】6【解析】试题分析：，即，当且仅当时取等号，的最小值为6.考点：向量垂直的充分条件、基本不等式.14. 若二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则_.【答案】60【解析】由题二项式展开式的通项公式为 令，得展开式中的系数为 令，得展开式中常数项为 由 可得 又a，所以 所以 即答案为6015. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取4个顶点，则这4个顶点为“三节棍体”的概率是_.【答案】【解析】本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是，以为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：，共6个，同理以为顶点的也各有6个，但是，所有列举的三棱锥均出现2次，四个面都是直角三角形的三棱锥有个，所求的概率是，故答案为.【方法点睛】本题考查古典概型概率公式、空间线面关系以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题新定义“三节棍体”达到考查古典概型概率公式、空间线面关系的目的.16. 已知为数列的前项和，且，若，给定四个命题；.则上述四个命题中真命题的序号为_.【答案】【解析】构造函数为奇函数，且单调递增，依题意有 又，故数列为等差数列，且公差故 故错误；故正确；由题意知 若，则而此时，不成立，故错误； .，故成立.即答案为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知的内角的对边分别是，.(1)若，求；(2)若，边上的高为，求.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由已知，由正弦定理可得，结合可得 的值：（2）由题意边上的高为，可知，根据余弦定理， ，由已知，可得，整理可得，即即可求得的值试题解析：（1）由已知，结合正弦定理得：，于是因为，所以，取（2）由题意可知，得：从而有：，即又，所以，点睛：本题考查解三角形的有关知识，根据题意适时运用正弦定理或余弦定理的解题的关键，解题时还应注意三角形的内奸的取值范围18. 如图，在四棱椎中，是棱上一点，且，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且平面平面，平面与棱交于点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1)在正方形中，由面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，进而证得，又平面，平面，平面，平面平面.(2)取中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到平面的一个法向量，平面的一个法向量.由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角，又由题意可得二面角为钝角，即可得到二面角的余弦值.试题解析：(1)在正方形中，又平面平面，且平面平面，平面，又平面，底面是正方形，又平面，平面，平面.又四点共面，且平面平面，又，为棱的中点，是棱中点，是正三角形，又平面，平面，平面，平面平面.(2)取中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，解得，令，则为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，得，令，则为平面的一个法向量.，由图知二面角为钝角，二面角的余弦值为.19. 2020年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行，会议期间，达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示.（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）在抽取的这两种品牌产品中，抽取寿命超过300小时的产品3个，设随机变量表示抽取的产品是甲品牌的产品个数，求的分布列和数学期望值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，即为甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)由题意知可能取值为0，1，2，3，分别求出，及，即可得到的分布列和数学期望值.试题解析： (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)由题意知可能取值为0，1，2，3，且，的分布列为：0123故.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用20. 已知椭圆经过点，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与椭圆相交于两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 存在点，使得.【解析】试题分析：() 由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点可知，将点 代入椭圆方程，即可求得和的值，从而求得椭圆方程；() 分类讨论，当斜率存在时，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，及恒为定值即可求得的值，从而求得的值及点坐标；当直线的斜率不存在时，点，则时，求得的值及点坐标.试题解析：()由题意可得圆的方程为x2y2b2.因为该圆经过椭圆的焦点，所以半焦距cb，所以a22b2.将点(，1)代入椭圆方程可得b22，a24，所以椭圆C的方程为.()设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m,0)当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为yk(x1)联立得(12k2)x24k2x2k240，则x1x2，x1x2，又y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21)k2，而(x1m)(x2m)y1y2为定值，只需，解得m，从而，当直线l的斜率k不存在时，点A(1，)，B(1，-)，此时，当m时，(1m)(1m).综上，存在点M(，0)，使得.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知(，且为常数).(1)求的单调区间；(2)若在区间内，存在且时，使不等式成立，求的取值范围.【答案】(1) 时，单调递增区间为，单调递减区间为 时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.(2) 【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论可得到的单调区间；(2)由(1)知，在区间上单调递减，不妨设，