12.5函数的定义域和值域学习目标1.理解函数的定义域和值域.2.会求一些常见函数的定义域和值域知识链接1已知函数解析式求定义域时应注意从哪些方面使表达式有意义？答案应注意以下几点：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)yx0要求x0.2求出函数定义域后应写成什么形式？答案定义域应写成集合或区间的形式预习导引1函数的定义域(1)实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形(2)函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围2函数的值域(1)函数的值域是指函数值的集合(2)常数函数yc的值域是c，一次函数yaxb的值域是R，反比例函数y的值域是y|yR，y0.要点一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解(1)由解得所以函数y的定义域是x|x1，且x2(2)要使函数有意义，则解得即x1.所以函数y的定义域为1，)规律方法求定义域的实质就是求使函数表达式有意义的自变量x的取值范围常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合跟踪演练1求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x).解(1)依题意有1x0，x1，即定义域为x|x1(2)依题意有x1，即定义域为x|x1要点二求函数的值域例2求下列函数的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)y1；(3)y；(4)y；(5)y.解(1)将x1,2,3,4,5分别代入y2x1中计算得：函数的值域为3,5,7,9,11(2)0，11，即所求函数的值域为1，)(3)0，y11.所求函数的值域是y|yR，且y1(4)y1，函数的定义域为R，x211.02，y(1,1所求函数的值域为(1,1(5)y，且0(x2)299.所求函数的值域为0,3规律方法求函数的值域问题首先必须明确两点：一是对于定义域A上的函数yf(x)，其值域就是集合Cy|yf(x)，xA；二是函数的定义域，对应法则是确定函数值域的依据跟踪演练2求下列函数的值域：(1)y；(2)y；(3)y；(4)y.解(1)x222，0，函数y的值域是(0，(2)y2，y2，y的值域是y|yR，且y2(3)y，02(x1)22，0，y的值域是0，(4)由y得，x，y1.函数y的值域是y|yR，且y1.1函数y的定义域是()Ax|x1Bx|x0Cx|x1，或x0 Dx|0x1答案D解析0x1.2函数yx在1,2上的最大值为()A0B. C2D3答案B解析yx在1,2上是递增函数，ymax2.3函数y2的值域是()A(，2)(2，) B(，2)(2，)C(，2) D(2，)答案B解析当x0时，0,22，故值域是(，2)(2，)，选B.4函数f(x)(2x4)0的定义域是()AR B(2，)Cx|x2 Dx|x4答案C解析依题意知2x40，x2，所以定义域是x|x2，选C.5函数y的定义域为_答案x|x1，且x0解析要使函数y有意义须即定义域为x|x1，且x01.求函数值域，应理解两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数yf(x)，其值域是指集合By|yf(x)，xA；二是函数的定义域，对应法则及函数的性质是确定值域的依据目前常用的方法有：图象法、配方法、分离常数法、换元法等2求函数的定义域一般有三类问题：(1)若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解(2)由yf(x)的定义域，求复合函数fg(x)的定义域问题，实际上是已知中间变量ug(x)的值域，求自变量x的取值范围问题(3)若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义一、基础达标1函数f(x)的定义域为()A1B1C(1,1) D1,1答案D解析由得x1.2函数y的值域为()A1，) B0，)C(，0 D(，1答案B解析x10，y0.3函数y的值域是()A(，)(，) B(，)(，)CR D(，)(，)答案B解析y，y.4已知等腰ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y102x，此函数的定义域为()AR Bx|x0Cx|0x5 Dx|x5答案D解析ABC的底边长显然大于0，即y102x0，x5，又两边之和大于第三边，2x102x，x，此函数的定义域为x|x55y的定义域为_答案x|x4，且x2解析依题意知x4且x2.6若f(x)，则其值域为_答案y|yR，且y解析f(x).7若函数y(k0)在2,4上的最小值为5，则k的值为_答案20解析因为k0，所以函数y在2,4上是递减函数，所以当x4时，y最小，由题意知，5，k20.二、能力提升8函数y的值域是()A(0， B(0，)C(0，) D(，答案A解析x20，3x20,23x22,0.值域为(0，选A.9已知函数f(x)的定义域为a，b，则yf(xa)的定义域为()A2a，ab B0，baCa，b D无法确定答案B解析由axab得0xba，f(xa)的定义域为0，ba10已知函数y的定义域为R，则实数m的取值范围为_答案0,1解析依题意，当xR时，mx26mxm80恒成立当m0时，xR；当m0时，即解之得0m1，故0m1.11求下列函数的值域：(1)y2；(2)y；(3)yx23x(x0,1,2,3)解(1)y2，而02，0y2，故所求的值域为0,2(2)由y，得x2，而x20，0，等价于(y1)(3y2)0，且y10，解得y1或y.故所求的值域为(，(1，)(3)x0时，y4；x1时，y2；x2时，y2；x3时，y.故所求的值域为4,2，2，三、探究与创新12用长为30的铁丝弯成下部为矩形，上部为等边三角形的框架若等边三角形的边长为x，求此框架面积y与x的函数解析式，并写出其定义域解由于等边三角形的边长为x，由勾股定理可求得其高为x，于是其面积y1xxx2.又下部矩形的一边长为x，另一边长为15x，所以其面积y2(15x)x.于是框架面积yy1y2x2(15x)xx215x.依题意知所以0x10.即该函数的定义域是(0,10)13若f(x)的定义域为A，g(x)(a1)的定义域为B，当BA时，求实数a的取值范围解由20，得0，或或f(x)的定义域Ax|x1，或x1a1，a12a.由(xa1)(2ax)0，得x(a1)(x2a)0，2axa1.即g(x)的定义域为Bx|2axa1又BA，a11或2a1.a2或a.又a1.a2或a1.即实数a的取值范围是(，2)，1).8