第一章 立体几何初步1揭秘圆柱、圆锥、圆台和球的特征我们把由一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.这条定直线叫作旋转体的轴，常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球等.1.圆柱有以下三个主要特征(1)圆柱的轴垂直于底面.(2)圆柱的所有母线都相互平行且相等，而且都与圆柱的轴平行.(3)圆柱的母线垂直于底面.2.三类几何体的区别如下表所示底面平行于底面的截面轴截面圆柱有两个、平行且全等与两底面全等矩形圆锥只有一个与底面相似等腰三角形圆台有两个、平行且相似与两底面相似等腰梯形从运动变化的角度来讲，三类几何体的内在联系如图所示.3.球与球面半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球.球面也可看成是空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合.球面仅仅指球的表面，而球不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间，所以球是由半圆面沿其直径旋转而成的封闭的、实心的几何体.球的截面都是圆面.4.圆台应具备以下性质(1)圆台的底面是两个半径不相等的圆，两圆所在的平面互相平行且和轴垂直.(2)平行于底面的截面是圆.(3)母线都相等，各母线延长后相交于一点.例下列说法正确的是()圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆；在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交.A. B. C. D.解析错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中线旋转形成的；正确；由母线的定义知错；正确.所以应选D.答案D2学习空间几何体要“三会”一、会辨别例1下列说法：一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥.其中说法正确的个数为_.分析可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断.解析一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，而中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以错；中如绕直角边旋转可以形成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以错.故填0.答案0评注要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提.二、会折展例2纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“”的面的方位是_.分析将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可.解析将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“”的面的方位应为北.故填北.答案北评注将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视.解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践.三、会割补例3如图所示是一个三棱台ABCA1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥.分析(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形.解(1)作A1DBB1，C1EBB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示).(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1ABC、三棱锥BA1B1C1、三棱锥A1BCC1(如图所示).评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解.3三视图易错点剖析一、棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图.实际上，在上述几何体的三视图中，左视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图.如图，对于正三棱锥PABC来说，它的主视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P的位置，故主视图为等腰三角形PAC(包含高线PD)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故左视图为PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC).如图，对于正四棱锥PABCD来说，它的主视图和左视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD).对于此三视图，左视图和主视图易出错，但有了高线PO的衬托，便可降低出错率.二、画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示.这一点不能忽视，否则易出错.例1画出如图所示零件的三视图.错解如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示.剖析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.正解三、不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性.例2如图，通过三视图还原物体的直观图.解通过三视图可以画出直观图，如图所示：注：其中PC为垂直于底面ABCD的直线.变式训练由下面的三视图还原物体的直观图.解通过三视图可以看出直观图如图所示：注：其中CC1为垂直于底面ABCD的直线.4直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化.关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则“斜”和“二测”.“斜”也即是直角坐标系到斜45坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”.现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略.一、原图形到直观图的转化例1已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2分析先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB所在直线为x轴，以AB边上的高所在直线为y轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图ABC的边长及夹角求解.解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图所示.易知，ABABa，OCOCa.作CDAB于点D，则CDOCa.SABCABCDaaa2.答案D评注通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位.二、直观图到原图形的转化例2用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到一个边长为1的正方体，则原来图形的形状是()解析由直观图知，原图形在y轴上的对角线长应为2.答案A评注当由直观图向原图形转化时，关键是在直观图中建立斜45坐标系，有了斜45坐标系，便可按“斜二测画法”的画图规则逆推回去，而在正方形中建立45坐标系是很容易的(正方形的对角线与任一边所成的角均为45)，从而实现了由直观图向原几何图形的过渡.例3如图所示，四边形ABCD是一平面图形水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，ABCD，ADCD，且BC与y轴平行，若AB6，DC4，AD2，则这个平面图形的实际面积是_.分析由BCx45，先计算BC的长度.解析由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不变，仍为6和4，高为4，故平面图形的实际面积为(64)420.答案205“三共”问题的证法精析一、证明点共线例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B、Q、D1共线.证明D1平面ABC1D1，D1平面A1D1CB，B平面ABC1D1，B平面A1D1CB，平面ABC1D1平面A1D1CBBD1.A1C平面ABC1D1Q，且A1C平面A1D1CB，Q平面A1D1CB；而Q平面ABC1D1.Q在两平面的交线BD1上，B、Q、D1共线.评注证明点共线的问题，一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理3证明这些点同在两平面的交线上.二、证明线共点例2如图，ABC与A1B1C1三条边对应平行，且两个三角形不全等，求证：三对对应顶点的连线相交于一点.分析要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上.证明由A1B1AB，知A1B1与AB可确定平面.同理C1B1与CB，A1C1与AC可分别确定平面和.又ABC与A1B1C1不全等，则A1B1AB.若AA1，BB1的交点为P，则PAA1，且PBB1.又CC1，BB1，则P；AA1，则P.所以点P在的交线上，即PCC1，这样点P在AA1，BB1，CC1上，即三对对应顶点的连线相交于一点.评注解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上.三、证明线共面例3求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面.分析四条直线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况加以证明.证明分两种情况证明：有三条直线过同一点，如图，因为Al4，所以过A，l4可确定平面.因为B，C，Dl4，所以B，C，D.所以AB，AC，AD.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面.任意三条直线都不过同一点，如图.因为l1l2A，所以过l1，l2可以确定平面.又因为D，El2，B，Cl1，所以D，E，B，C.由E，B，可得BE，即l3.同理可证，l4.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面.评注证明线共面问题，一般有两种方法：一是先由两条直线确定一个平面，再证明第三条直线在这个平面内；二是由其中两条直线确定一个平面，另两条直线确定一个平面，再证，重合，从而三线共面.6证明平行问题的三个突破点一、由中点联想三角形的中位线，寻找平行关系例1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD1的中点，求证：AD1平面