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9三角函数的简单应用1能用三角函数研究简单的实际问题,尤其是周期性问题(重点)2将实际问题抽象为三角函数模型(难点)基础初探教材整理三角函数模型的应用阅读教材P58P59练习以上部分,完成下列问题1三角函数模型的应用(1)根据实际问题的图像求出函数解析式(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型(3)利用收集的数据,进行函数拟合,从而得到函数模型2解答三角函数应用题的一般步骤判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数ysin x在第一象限内是增函数()(2)函数y3sin x1的最大值为3.()(3)直线x是函数ysin x的一条对称轴()(4)函数ysin(x4)的周期为2.()【解析】(1)由正弦函数图像知,正确;(2)最大值应该是312;(3)xk(kZ)是ysin x的对称轴;(4)T2.【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型三角函数在物理学中的应用交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E220sin来表示,求:(1)开始时电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间【精彩点拨】(1)求t0时所对应的电压(2)求函数的周期(3)求函数的最值【自主解答】(1)当t0时,E110(V),即开始时的电压为110V.(2)T(s),即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220V,当100t,即t(s)时第一次取得最大值由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性,且均符合函数yAsin(x)b(A0,0)的变换规律,因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象再练一题1.如图191,一弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像,求:图191(1)经过多长时间,小球往复振动一次;(2)这条曲线的函数解析式;(3)小球开始振动时,离开平衡位置的位移【解】(1)由图像可知,周期T2,所以小球往复振动一次所需要的时间为 s.(2)由题意可设该曲线的函数解析式为sAsin(t),t0,)从图像中可以看出A4,又,所以2.从而s4sin(2t),将t,s4代入上式,得sin1,所以.故这条曲线的函数解析式为s4sin,t0,)(3)当t0时,s4sin 2(cm)故小球开始振动时,离开平衡位置的位移是2 cm.探究共研型三角函数的实际应用探究1建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么?【提示】(1)先寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切函数模型(2)其次是搜集数据,建立三角函数解析式并解题(3)最后将所得结果翻译成实际答案探究2如何建立拟合函数模型?【提示】(1)利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”(2)观察“散点图”,并进行数据拟合,获得具体的函数模型(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题,并进行检验探究3由图像怎样确定yAsin(x)b中的A和b.【提示】A,b.某港口的水深y(单位:m)是时间t(0t24,单位:h)的函数,下面是水深数据:t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出曲线,如图192所示,经拟合,该曲线可近似地看做函数yAsin tb的图像图192(1)试根据以上数据,求函数解析式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的,如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m,那么该船何时能进入港口?在港口能待多久?【精彩点拨】(1)根据题意确定A,b,.(2)根据题意水深y11.5可求解【自主解答】(1)从拟合曲线可知,函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h),此为半个周期,函数的最小正周期为12 h,因此12,得.当t0时,y10,b10.ymax13,A13103.所求函数的解析式为y3sint10(0t24)(2)由于船的吃水深度为7 m,船底与海底的距离不少于4.5 m,故在船舶航行时水深y应不小于74.511.5(m)当y11.5时就可以进港令y3sint1011.5,得sint,2kt2k(kZ),112kt512k(kZ)取k0,则1t5;取k1,则13t17;取k2,则25t29(不合题意)因此,该船可以在凌晨1点进港,5点出港或在13点进港,17点出港,每次可以在港口停留4小时根据给出的函数模型,利用表中的数据,找出变化规律,运用已学的知识与三角函数的知识,求出函数解析式中的参数,将实际问题转化为三角方程或三角不等式,然后解方程或不等式,可使问题得以解决再练一题2已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0t24,记yf(t),下表是某日各时的浪高数据:t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测,yf(t)的图像可近似地看成函数yAcos tb的图像(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?【解】(1)由表中数据可知,T12,所以.又t0时,y1.5,所以Ab1.5;t3时,y1.0,得b1.0,所以振幅为,函数解析式为ycost1(0t24)(2)因为y1时,才对冲浪爱好者开放,所以ycost11,cost0,2kt2k,即12k3t12k3(kZ)又0t24,所以0t3或9t15或21t24,所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即9t15.构建体系1如图193所示为一简谐振动的图像,则下列判断正确的是()图193A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零【解析】由图像可知,该质点的振动周期是2(0.70.3)0.8,故A不正确;振幅为5 cm,故选B.【答案】B2某人的血压满足函数关系式f(t)24sin 160t110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为()A60B70C80D90【解析】T,f80.【答案】C3如图194所示,是一弹簧振子作简谐振动的图像,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是_. 【导学号:66470033】图194【解析】设函数解析式为yAsin(x),则由题意得A2,T2(0.50.1)0.8,.又0.1,解析式为y2 sin.【答案】y2sin4某同学利用描点法画函数yAsin(x)的图象,列出的部分数据如下表:x01234y10112经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数yAsin(x)的解析式应是_【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点,如图所示根据函数图象的大致走势,可知点(1,0)不符合题意;又0A2,函数图象过点(4,2),A2,函数图象过点(0,1),2sin 1.又,由(0,1),(2,1)关于直线x1对称,知x1时函数取得最大值2,函数的最小正周期为6.【答案】y2sin5如图195,某地夏天814时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b.图195(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式【解】(1)由题图可知,一天最大用电量为50万度,最小用电量为30万度(2)b40,A14050A10,由图可知,1486,则T12,则y10sin40,代入(8,30)得,解析式为y10sin40,x8,14我还有这些不足:(1)_(2)_我的课下提升方案:(1)_(2)_9
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