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湖南省衡阳八中、澧县一中2020届高三数学上学期11月联合考试试题 文一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合是1至20以内的所有素数,则( )ABCD2若复数满足,则复数在复平面对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的标准方程为( )ABCD4.已知直线与圆交于A,B两点,若ABC为等边三角形,则a的值为ABCD5. 1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,例如求1到2000这2000个整数中,能被3除余1且被7除余1的数的个数,现由程序框图,其中MOD函数是一个求余函数,记表示m除以n的余数,例如,则输出i为( )A98B97C9 D95 6.若,则AB CD 7. 已知为偶函数,且,当时,则f(2020)=() ABCD1 8.已知函数,直线是函数的图像的任意两条对称轴,且的最小值为,若,则的值为ABCD9. 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边.已知,则( )AB C或D10. 已知数列的各项均为正数,且满足,且成等比数列,则数列的前2020项和为( )ABCD 11. 已知函数是单调函数,且时,都有,则( )ABCD12.已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且两个椭圆的离心率相同,设O为坐标原点,点A、B分别在椭圆、上,若,则直线AB的斜率k为( )ABCD 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若满足,则的最小值为 .14.平面向量与的夹角为,且,则 .15.斜率为的直线过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),若,则 .16.已知四棱锥中,底面是梯形,且,的中点为,则四棱锥外接球的表面积为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为若,(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前项和18.(本小题满分12分)在新高考改革中,打破了文理分科的“3+3”模式,不少省份采用了“3+3”,“3+2+1”,“3+1+2”等模式.其中“3+1+2” 模式的操作又更受欢迎,即语数外三门为必考科目,然后在物理和历史中选考一门,最后从剩余的四门中选考两门.某校为了了解学生的选科情况,从高二年级的2000名学生(其中男生1100人,女生900人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查.(1)已知抽取的n名学生中含男生110人,求n的值及抽取到的女生人数; (2)在(1)的情况下对抽取到的n名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查,得到下列22列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选科目与 性别有关?选物理选历史合计男生90女生30合计(3)在(2)的条件下,从抽取的“选历史”的学生中按性别分层抽样再抽取5名,再从这5名学生中抽取2人了解选政治、地理、化学、生物的情况,求2人至少有1名男生的概率.参考公式:.19.(本小题满分12分)已知直四棱柱的底面是菱形,E是CC1上任意一点.(1)求证:平面平面;(2)设,当E为的中点时,求点E到平面的距离.20.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为(1)求椭圆的方程;(2)过作垂直于轴的直线交椭圆于两点(点在第二象限),是椭圆上位于直线两侧的动点,若,求证:直线的斜率为定值.21.(本小题满分12分)已知函数,其中.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求与满足的关系;(2)当时,讨论的单调性;(3)当时,对任意的,总有成立,求实数的取值范围.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,且,求直线l的倾斜角.23. 选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数.(1)解不等式(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.参考答案题号123456789101112答案BDDBDDABACCC135 142 15.1 16 解析:易知平面平面,则为直角三角形,设球心为,到面的距离为,球的半径为,则,解得.17.解(1) 由,则设等差数列的公差为,则,所以.所以设等比数列的公比为,由题,即,所以.所以;(2) ,所以的前项和为.18.解:(1)由题意得,解得,则女生人数为(人).(2)选物理选历史合计男生9020110女生603090合计15050200没有99%的把握认为选科与性别有关.(3)从选历史的学生中按性别分层抽5名学生,则由(2)可知,有2名男生,3名女生,设男生编号为1,2,女生编号为3,4,5,5名学生中再选取2人,则所有等可能的结果为34,35,31,32,45,41,42,51,52,12共10种,至少1名男生的结果为31,32,41,42,51,52共7种,2人中至少1名男生的概率为19.解:(1)证明:四棱柱是直四棱柱,底面,而底面,.又是菱形,有,=A,故平面又平面,平面平面.(2)法一:设与的交点为,连,由(1)知点到平面的距离即点到直线的距离.又在三角形中,得边上的高为,故到直线的距离.法二:由,而,故20.解:21.解:(1)由题意,得. 由函数在点处的切线与平行,得. 即. (2)当时,由知. 当时,在恒成立,函数在上单调递增. 当时,由,解得或;由,解得.函数在和上单调递增;在上单调递减.当时,解得或;由,解得.函数在和上单调递增;在上单调递减. (3)当时,由,得对任意的恒成立.,在恒成立. 设,则,令,则,由,解得. 由,解得;由,解得.导函数在区间单增;在区间单减, ,在上单调递减,. 故所求实数的取值范围.22.解:(1)当时,直线的直角坐标方程为;当时,直线的直角坐标方程为.将代入中,得曲线的直角坐标方程为.(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,整理得.,整理得,即 ,或,解得或为所求.22.解:(1),等价, 故不等式的解集为或. (2)恒成立,令知其表示过定点的直线,结合图象得,实数的取值范围为.
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