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湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第6次月考试题 理考试时量:120分钟 试卷满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合,则A B C D 2. 设为虚数单位,若是纯虚数,则 A B C1 D3. 已知某超市2020年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:根据该折线图可知,下列说法错误的是A该超市2020年的12个月中的7月份的收益最高B该超市2020年的12个月中的4月份的收益最低C该超市2020年16月份的总收益低于2020年712月份的总收益D该超市2020年712月份的总收益比2020年16月份的总收益增长了90万元4已知,则A B C D5. 已知,满足,则ABCD6. 函数图象的大致形状是 A B C D7.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米,当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟先他10米,当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟先他1米,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为 A米B米C米D米8.已知函数,且在上单调.则下列说法正确的是A B C函数在上单调递增 D函数的图象关于点对称9.在中,满足,则的面积的最大值为A. B. 2 C. D. 10已知双曲线C:,分别为其左、右焦点,为坐标原点,若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径的圆上,则C的离心率是A B C2 D11. 在正方体中,分别为,上的动点,且满足,则下列4个命题中:存在,某一位置,使; 的面积为定值;当时,直线与直线一定异面; 无论,运动到何位置,均有. 其中所有正确命题的序号是A. B. C. D. 12若函数在区间内有两个不同的零点,则实数的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分 把答案填在答题卡中的横线上)13若的展开式中的系数为,则实数_ _14在菱形中,将这个菱形沿对角线折起,使得平面平面,若此时三棱锥的外接球的表面积为,则的长为 15.已知数列满足,则(1) ,(2) .16如图,衡阳市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路,有一商城的部分边界是椭圆的四分之一,这两条公路为椭圆的对称轴,椭圆的长半轴长为2,短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议,欲新建一条公路,点分别在公路上,且要求与椭圆形商城相切,当公路长最短时,的长为_千米.三、解答题(本大题共6小题,共70分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(一)必考题:60分17(本小题满分12分) 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的值;(2)若ABC的面积为,设D为边AC的中点,求线段BD长的最小值18(本小题满分12分) 已知正方形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,将ADE沿DE折起,使ACD为等边三角形,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为.(1)证明:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上;(2)求角的正弦值.19(本小题满分12分) 如图,已知椭圆的长轴长为4,过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B,C两点,直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线,直线分别与相交于两点,设为线段的中点,求证:20(本小题满分12分)已知函数(1)当时,求函数在区间上的值域;(2)对于任意,都有,求实数的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2020年,“x=2”表示2020年,依次类推;y表示人数):x12345y(万人)2050100150180(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次。若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从到)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第格的概率为,试证明是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。附:在线性回归方程中,.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22. (本小题满分10分) 选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,点,直线的参数方程为(t为参数),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程,直线与曲线C交于A、B两点(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求的值23. (本小题满分10分) 选修45:不等式选讲 已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)证明:2020届衡阳市八中高三第六次月考理科数学参考答案命题:彭 源 审题:蒋金元考试时量:120分钟 试卷满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案BADDACBCACBD 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分 把答案填在答题卡中的横线上)13 _ -2 _ 14 15. (1) , (2) .16 _ 三、解答题(本大题共6小题,共70分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(一)必考题:60分17(本小题满分12分) 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的值;(2)若ABC的面积为,设D为边AC的中点,求线段BD长的最小值【详解】(1)由,得,即,即.由正弦定理得,因,所以,则,所以, 所以,即.(2)由ABC的面积为,即,得.因为D为边AC的中点,所以,所以,即,当且仅当时取“=”,所以,即线段BD长的最小值为. 18(本小题满分12分) 已知正方形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,将ADE沿DE折起,使ACD为等边三角形,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为.(1)证明:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上;(2)求角的正弦值. 【详解】(1)证明:过点A作AG平面BCDE,垂足为G,连接GC,GD.因为ACD为等边三角形,所以AC=AD,所以点G在CD的垂直平分线上.又因为EF是CD的垂直平线,所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.另证:过点A作AGEF,再证AGCD,从而证得AG平面BCDE,即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上(2) 解:以G为坐标原点,GA所在直线为z轴,GF所在直线为y轴,过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为2a,连接AF,则AF= a,AE= a,EF=2 a. 所以设平面ADE的一个法向量为m=(x,y,z),则,取y=1,得m=,又平面DEC的一个法向量n=(0,0,1)所以,即.19(本小题满分12分) 如图,已知椭圆的长轴长为4,过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B,C两点,直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线,直线分别与相交于两点,设为线段的中点,求证:【详解】(1)设,因点B在椭圆上,所以,故又, 所以,即因 所以,所以,所以椭圆的方程为.(2)设直线BC的方程为,由,得,则.直线的方程为,令,得;同理;所以,即点,又,所以,所以.20(本小题满分12分)已知函数(1)当时,求函数在区间上的值域;(2)对于任意,都有,求实数的取值范围.【详解】(1) 当时,则令,则.当时,当时,得,解得当时,得,解得所以在上单调递增,在上单调递减,故即,在上单调递减,所以所以函数在区间上的值域为.(2)因为,故可化为即函数在区间上为增函数,所以当时,即恒成立.当时,;当时,令,则.当时,当时,当时,.所以在上单调递减,故,所以.综上,实数的取值范围是. 21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2020年,“x=2”表示2020年,依次类推;y表示人数):x12345y(万人)2050100150180(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格
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