高三数学专题 平面向量的方法技巧及易错题剖析 理 高三数学专题 平面向量的方法技巧及易错题剖析 理 人教实验人教实验 版 版 B B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 专题 平面向量的方法技巧及易错题剖析 二 重点与难点 总结平面向量部分的方法技巧及对本章易错题进行剖析 三 知识分析 一 平面向量常见方法技巧 方法一 强化运用交换律和结合律的意识 活用闭合向量为零向量解题 特别对于化简题 应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连 然后再运用向量加法 结合律作和 例 化简下列各式 CABCAB CDBDACAB ADODOA 结果为零向量的序号为 MPMNQPNQ 答案 答案 解析 解析 对于 0CAACCABCAB 对于 0ADADCDACBDABCDBDACAB 对于 0ADDAADODOA AB 对于 0PNNPMPMNQPNQMPMNQPNQ 综上知 应填 方法二 强化运用向量加法法则 例 已知四边形 ABCD 是菱形 点 P 在对角线 AC 上 不包括端点 A C 则等AP 于 A B 1 0 ADAB 2 2 0 BCAB C D 1 0 ADAB 2 2 0 BCAB 答案 答案 A 解析 解析 如图 因为点 P 在 AC 上且不包括端点 A C 所以 ACAP 1 0 由三角形法则和平行四边形法则 知 ADABAC BCABAC AB 所以或 ADABAP BCABAP 1 0 故选 A 方法三 数形结合思想 例 已知向量 满足条件 且 1 OP 2 OP 3 OP0OPOPOP 321 1 试判断的形状 OP OP OP 321 321 PPP 解析 解析 如图 以与为邻边作平行四边形 利用向量加法的平行四边 1 OP 2 OP 21PP OP 形法则 易知 OPOPOP 21 0OPOPOP 321 3 OPOP 又 1 OP OP OP 321 四边形为菱形 1 PP OP OP 11 21PP OP 为等边三角形 1 POP 即 从而 60OPP1 120OPP 21 同理可得 120OPPOPP 3132 1 OP OP OP 321 313221 OPPOPPOPP PP PP 3221 PP 31 为正三角形 321 PPP 方法四 取特例 例 ABC 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交点为 H 则实数 OCOBOAmOH m 答案 答案 1 解析 解析 特殊值法 当 ABC 为直角三角形时 O 为 AC 中点 AB AC 边上高的交 点 H 与 B 重合 OHOBOCOBOA 1m 方法五 应用解题 22 a a 是向量数量积的重要性质之一 它沟通了向量与实数间的转化关系 充分利 22 a a 用这一性质 可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题 例 已知 a b 均为单位向量 它们的夹角为 那么等于 60 b3a A B C D 710134 答案 答案 C 解析 解析 2222 b9ba6ab3a b3a 22 b 9b acos b a 6 a 1 a 1 b 60b a 原式 13960cos1161 故选 C 13 b3a 方法六 利用数形结合思想解决向量的模 向量的夹角问题 例 1 已知向量 b 满足 且 a 与 b 的夹角为 求和a6 a 4 b 60 ba b3a 解析 解析 如图所示 则由 a b 的夹角为知 aOA bOC baOB 60 在 AOB 中 由余弦定理得 60AOC 120BAO 19260cos64246 OB ba 22 如图所示 仿上可求得 36 FE b3a 例 2 已知 则与的夹角大小为 1 a 2 b bac ac ab A B C D 6 6 5 3 3 2 答案 答案 D 解析 解析 如图 bac ac a b c 构成一个三角形 且 所以可以推知 a 与 b 的夹角为 故选 D 6 3 2 方法七 三角形形状的判断方法 由于三角形的形状可按角分类也可按边分类 所以这类题常将条件统一用边或角表示 后再化简 判断 1 应用平面向量的基本概念和性质判断 例 1 已知平面上有互异的四点 A B C D 若 0ACABDA2DCDB 则 ABC 的形状是 A 直角三角形B 等腰三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形 答案 答案 B 解析 解析 因为ACABDA2ACDAABDADA2DCDB 所以 0ACABACABDA2DCDB 22 即 AC AB 所以 ABC 是等腰三角形 故选 B 2 应用正弦 余弦定理进行边角互化达到判断三角形的形状的目的 例 2 在 ABC 中 若 试判断三角形的形状 CcosBcosbc2BsincCsinb 2222 解析 解析 解法一 由正弦定理 R 为 ABC 的外接圆半径 Csin c Bsin b Asin a R2 将原式化为 CcosBcosCsinBsinR8CsinBsinR8 2222 0CsinBsin 即 CcosBcosCsinBsin 0CBcos A 90CB 90 故 ABC 为直角三角形 解法二 将已知等式变形为 CcosBcosbc2Bcos1cCcos1b 2222 由余弦定理得 ab2 cba ac2 bca bc2 ac2 bca c ab2 cba bcb 222222 2 222 2 2 222 222 即 故 ABC 为直角三角形 2 2 2 222222 22 a a4 bcacba cb 二 易错题剖析 易错题 1 若向量 a b 满足关系式 则下列结论中正确的是 ba ba A 以 为邻边的四边形是矩形ab B 中至少有一个零向量或abba C 中至少有一个是零向量ab D 均为零向量ab 答案 答案 B 解题思路 1 当 均为非零向量时 由向量加法和向量减法的平行四边形法则ab 可知 与分别是以 为邻边的平行四边形的两条对角线 表ba ba ab ba ba 明这个平行四边形的两条对角线的长相等 所以 以 为邻边的四边形为矩形时 ab a b 2 当 中有零向量时 条件显然满足 ab 综上所述 故选 B 错因分析 误区 错选 A 思考不严密 只注意到了向量 均不为零向量的情形 事实上 当 中有零向abab 量时显然也满足条件 由于零向量是特殊向量 具有特殊性 处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向 量 易错题 2 两个向量共线 是这两个向量方向相反的 A 充分条件B 必要条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 答案 B 解题思路 两个向量与共线 它们可以在同一条直线上 也可以不在同一条直线ab 上 只要它们方向相同或相反即可 因此 两个向量方向相反这两个向量共线 两个向 量共线不能得到这两个向量反向 故选 B 错因分析 误区 两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况 因此 两个向量 共线不能得到这两个向量反向 两个向量反向 这两个向量并不一定在同一条直线上 因 此错选 D 造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊 易错题 3 设点 A 2 B 3 C D 若向1 1n 2 1n 21n2 量与共线且同向 则的值为 ABCDn A 2B C D 12 2 答案 答案 A 解题思路 由已知条件得 由与共线得 1 nAB n 4CD ABCD04n 2 当时 2 1 4 2 则有 满足与同2n 2n ABCDAB2CD ABCD 向 当时 有 此时与反向 2n 1 2AB 2 4CD AB2CD ABCD 不符合题意 因此 符合条件的只有 故选 A 2n 错因分析 误区 由已知可得 因为与同向且共线 1 nAB n 4CD ABCD 所以 0 因此错选 C 4n 2 2n 出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊 事实上 上述解答中只注意了共线条件 而忽视了另一个条件 方向相同 向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向 同向 0 反向 0 易错题 4 已知 则的取值范围是 8 AB 5 AC BC A B 3 8 C D 3 13 8 3 13 3 答案 答案 C 解题思路 因为向量减法满足三角形法则 作出 8 AB 5 AC ABACBC 1 当 ABC 存在 即 A B C 三点不共线时 13 BC 3 2 当与同向共线时 ACAB3 BC 当与反向共线时 ACAB13 BC 故选 C 13 3 BC 错因分析 误区 错选 D 错误原因是对题意的理解有误 题设条件并没有给出 A B C 三点不能共线 因此它 们可以共线 当 A B C 共线时 ABC 不存在 题目中两向量 a b 是任意向量 在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形 易错题 5 已知 设与的夹角为 要使为锐角 求的取 3 1a 2b ab 值范围 解题思路 由为锐角 得 0 且 cos1cos 恒大于 0 cos b a ba 即 0ba 0321 解得 3 2 若平行于 则 即 但若平行于 则或 与ab0321 6 ab0 为锐角相矛盾 所以 6 综上 6 3 2 且 失分警示 误区 为锐角 0cos 由知 只需 即 故 cos b a ba 0ba 0321 3 2 本题误以为两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是 事实上 两向量的0ba 夹角 当时 有 对于非零向量 a 与 b 仍有 因此 0 0 01cos 0ba 是两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的必要不充分条件 即有如下结论 两非零向量0ba a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是且不平行于 b 0ba a 易错题 6 已知点 A 3 与点 B 2 点 P 在直线 AB 上 且 4 1 PB 2 PA 求点 P 的坐标 解题思路 设点 P 的坐标为 x y 由于 PB 2 PA 所以 当点 P 为有向线段的内分点时 AB2 此时有 0 21 224 y 3 1 21 1 23 x 点 P 的坐标为 0 3 1 当点 P 为有向线段的外分点时 AB 2 此时有 8 21 224 y 5 21 123 x 点 P 的坐标为 8 5 综上所述 点 P 的坐标为 0 或 8 3 1 5 失分警示 思考不严密 出现漏解现象 点 P 可能是的内分点 也可能是的ABAB 外分点 因此本题必须分类讨论 易错题 7 ABC 中 已知 判断 ABC 的形0ACAB 0ABBC 0CACB 状 解题思路 Acos AC AB ACAB Bcos AB BC Bcos AB BC ABBC Ccos CA CB CACB 0CACB 0ABBC 0ACAB B C 均为锐角 0Acos 0Bcos 0Ccos A ABC 为锐角三角形 失分警示 误区 BC0AB 0Bcos AB BC B 为钝角 ABC 为钝角三角形 上述错误在于将与的夹角看成是 ABC 的内角 B 向量与的夹角应为BCABBCAB B 易错题 8 设二次函数 其中 是 ABC 的三边 ba cx2x ba y 2 abc 且 若二次函数与轴有交点 试确定 B 的范围 ab cb x 解题思路 由题设 即0 0bca 222 ac2 bca Bcos 222 90B00 又 cb ab 60B 由 知 90B60 失分警示 误区 由题意得 0ba4c4 222 90B00 ac2 bca Bcos 222 此解法忽视了题设中所给条件 事实上 是三角形的最大边 B 为三ab cb b 角形的最大角 不小于 60 解题时要注意挖掘题目中的隐含条件 要做到细致入微 不可大意 易错题 9 已知在四边形 ABCD 中 且aAB bBC cCD dDA 试确定四边形 ABCD 的形状 addccbba 解题思路 由已知易得 则 0dcba ba dc 即 22 dcba cd2dcab2ba 2222 又因为 dcba 2222 dcba 同理可得 2222 cbda 由 可得 即 即 22 ca c a 22 db d b 四边形 ABCD 为平行四边形 DC AB BC AD 且 又 ca db bacbba 0ba ba 综上所述 四边形