高三数学导数及其应用高三数学导数及其应用苏教版苏教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数及其应用 二 教学目的 1 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义 了解导数概念的实际背景 体会导 数的思想及其内涵 通过函数图象直观地理解导数的几何意义 2 理解导数的定义 能根据导数的定义 求函数 y c y x y x2 y 的导数 1 x 了解基本初等函数的导数公式 了解导数的四则运算法则 能利用导数公式表的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导数 3 了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三 次的多项式函数的单调区间 了解函数的极大 小 值 最大 小 值与导数的关系 会求不超过三次的多项式函 数的极大 小 值 以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大 小 值 4 能用导数方法求解有关利润最大 用料最省 效率最高等最优化问题 感受导数 在解决实际问题中的作用 三 重点 难点 教学重点 导数的几何意义及其运算 教学难点 导数在实际问题中的应用 四 知识点归纳 1 函数在区间上的平均变化率为 yf x 12 x x 1 f xf x xx 21 2 2 函数在区间内有定义 若无限趋近于 0 比值 yf x a b 0 xa b x 无限趋近于一个常数 A 则称在处可导 并称常数 00 f xxf xy xx f x 0 xx A 为函数在处的导数 记作 f x 0 xx 0 fx 3 导数的几何意义 函数在点处的导数 就是曲线在点处的切线的斜率 yf x 0 x yf x 0 x 由此 可以利用导数求曲线的切线方程 具体求法分两步 1 求出函数在点处的导数 即曲线在点处的切线的斜率 yf x 0 x yf x 0 x 2 由切点坐标和切线斜率 得切线方程为 00 xy 0 fx 000 yyfxxx 特别地 如果曲线在点处的切线平行于 y 轴 这时导数不存在 根据切线定 yf x 0 x 义 可得切线方程为 0 xx 4 的导函数 yf x yfx 函数对于区间内任一点都可导 若无限趋近于 0 比值 yf x a bx 无限趋近于 称它为的导函数 记为 yf xxf x xx fx yf x yfx 函数在点处的导数 就是导函数在处的函数值 yf x 0 x 0 fx yfx 0 xx 5 常见函数的导函数 1 a 为常数 1aa ax x 2 ln 0 1 xx aaaaa 且 3 1 log ln a x xa 4 xx ee 5 1 ln x x 6 sin cosxx 7 cos sinxx 6 函数的和 差 积 商的导数 u xv xu xv x c u xc u x u xv xu x v xu x v x 2 0 u xu x v xu x v x v x v xvx 7 简单复合函数的导数 的导函数 若 则 yf axb yfaxb xx yyya 8 导数的应用 1 导数和函数的单调性 对于函数 在某区间上 那么为该区间上的增函数 yf x 0fx yf x 对于函数 在某区间上 那么为该区间上的减函数 yf x 0fx yf x 2 导数和函数的极值点 在的点处的两侧的导数值异号 则在处的函数值为极值 0fx 0 x yf x 0 xx 在的点处的两侧的导数值左正右负 则在处的函数值为 0fx 0 x yf x 0 xx 极大值 在的点处的两侧的导数值左负右正 则在处的函数值为 0fx 0 x yf x 0 xx 极小值 3 导数和函数的最值点 求在区间上的最大值 最小值可以分为两步 yf x a b 第一步 求在区间上的极值 yf x a b 第二步 将第一步中求得的极值与比较 得到在区间上 f af b yf x a b 的最大值与最小值 典型例题典型例题 例 1 已知 求在 1 3 上的平均变化率 2 f xx yf x 解 解 4 例 2 已知一汽车在公路上做匀加速直线运动 秒时的速度为求时t 2 3 v tt 3t 汽车的瞬时加速度 解 解 a 6 例 3 函数在到 x0 x 之间的平均变化率为 在 x0 x 到之间的平均 2 yx 0 x 1 K 0 x 变化率为 x 0 则 2 K A B C D 12 KK 12 KK 12 KK 12 KK与大小关系不定 易错点 易错点 错选 C 误认为是切线的斜线 正确答案是 A 因为 K1 2x0 x K2 2x0 x 例 4 设点 P 是曲线上的任一点 P 点处的切线倾斜角为 则的取值范 3 1 3 yxx 围是 A B 3 4 3 0 24 C D 3 2 4 3 0 24 易错点 易错点 选 D 正确 正确 y x2 1 1 例 5 1 曲线在点 1 1 处的切线方程为 32 31yxx 2 求过点 P且与曲线相切的切线方程 8 2 3 3 1 3 yx 解 解 1 3x y 2 0 2 易错点 设切点为 x0 y0 则 得 x0 2 或 x0 1 3 0 2 0 0 18 33 2 x x x 所求的切线方程是 12x 3y 16 0 或 3x 3y 2 0 正确解法 正确解法 当 x0 2 时解法同上 当 x0 2 时 切线方程为 y 4 x 2 8 3 综上所求得直线方程 12x 3y 16 0 或 3x 3y 2 0 分析 分析 虽然答案相同 但是考虑的严密性不同 只能说答案相同是巧合而已 例 6 1 函数在处的导数值为 2 3 3 x y x 3x 2 求函数的导数 3 cos x f xxex 3 已知函数 求 1 2 f xx xx 2 f 解 1 2 3 y 2 2 3cossin xx fxxexex 3 1 2 1 2 fxx xxx xx 2 1 22 2 2 1 2fx x 例 7 求的增区间是 2 2lnyxx 1 2 例 8 已知在处有极值 0 求常数 322 3yxaxbxa 1x a b 错解 错解 y 3x2 6ax b 2 36012 39310 abaa bbaba 或 正确解法 正确解法 下面检验 x 1 是否为极值点 当 a 1 b 3 函数 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 因为在 x 1 两侧的导数同号 所以 x 1 不是极值点 当 a 2 b 9 函数 f x 3x2 12x 9 3 x2 4x 3 因为在 x 1 两侧的导数异 号 所以 x 1 是极值点 所以 a 2 b 9 例 9 江苏 9 已知二次函数的导数为 对于任 2 f xaxbxc fx 0 0f 意实数都有 则的最小值为 C x 0f x 1 0 f f A B C D 3 5 2 2 3 2 例 10 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱 上部的形状是侧棱长 为 3m 的正六棱锥 如右图所示 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为多少时 帐篷的体积最大 解 解 设 OO1为 x m 则由题设可得正六棱锥底面边长为 单位 m 于是底面正六边形的面积为 单位 m2 222 3 1 82xxx 帐篷的体积为 单位 m3 23 3 313 82 1 1 16 12 232 V xxxxxx 求导数 得 2 3 123 2 V xx 令解得 x 2 不合题意 舍去 x 2 0V x 当 1 x 2 时 V x 为增函数 0V x 当 2 x 4 时 V x 为减函数 0V x 所以当 x 2 时 V x 最大 答 答 当 OO1为 2m 时 帐篷的体积最大 例 11 设 x 0 是函数的一个极值点 2 x f xxaxb exR 求 a 与 b 的关系式 用 a 表示 b 并求的单调区间 xf 设 使得 2 2 1 0 21 22 问是否存在 x eaaxga 1 21 gf 成立 若存在 求 a 的取值范围 若不存在 说明理由 解 解 I x ebaxaxxf 2 2 由abf 得 0 0 2a xx x f0 x 2ax 0 x 0 x f e 2ax xe x 2a x x f e aaxx x f 21 21 xx2 x2 即故的极值点是由于 得令 当的单调增区间是 单调减区间是 2 21 xfxxa故时 2 0 a和 2 0 a 当的单调增区间是 单调减区间是 2 21 xfxxa故时 0 2 和a 0 2 a II 当上单调递增 因此 2 0 0 2 22 0在上单调递减在时 xfaa 4 2 2max 0 2 2 2 eaafffxf 上的值域为在 上递减 所以值域是 2 2 1 22 在而 x eaaxg 1 42 eaa 2 1 aa 因为在11 1 2 2 22 maxmin aaaaxgxf上 使得成立 1 所以不存在 2 2 2 1 21 gf 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 函数 已知在时取得极值 则 93 23 xaxxxf xf3 xa A 2 B 3 C 4D 5 2 函数是减函数的区间为 32 31f xxx A B C D 2 2 0 0 2 3 曲线在点处的切线方程是 3 4yxx 1 3 A B C D 74yx 72yx 4yx 2yx 4 下列求导运算正确的是 A B 2 x 1 1 x 1 x 2lnx 1 log2 C D elog3 3 3 xx xsinx2 xcosx 2 5 已知函数的图象如下图所示 其中是函数的导函数 下面四 yxfx fx f x 个图象中的图象大致是 yf x 6 设函数 且 则 2 3 f xx xkxkxk 0 6f k A 0 B 1 C 3 D 6 二 填空题 7 函数sin x yex 的导数为 8 函数 1 2 0 33yxx 在点处的导数值等于 9 函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值是 最小值是 10 过曲线 y x3 x 1 上一点 P 的切线与直线 y 4x 7 平行 则 P 点的坐标为 11 若函数 f x x3 x2 mx 1 是 R 上的单调函数 则实数 m 的取值范围是 三 解答题 12 已知某质点的运动方程为 下图的曲线是其运动轨迹的一部 32 s ttbtctd 分 试求 之值 bc 若当时 恒成立 求的取值范围 1 4 2 t 2 3s td d 13 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 升 关于行驶速度y 千米 小时 的函数解析式可以表示为 已知x 3 13 8 0120 12800080 yxxx 甲乙两地相距 100 千米 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 14 已知函数 xxfln 求函数的最大值 xxfxg 1 当时 求证 ba 0 22 2 ba aba afbf 试题答案试题答案 一 选择题 1 D2 D3 D4 B5 C6 B 二 填空题 7 cossin xx exex 8 3 6 9 5 15 10 1 1 或 1 3 11 1 3 三 解答题 12 解 令 则对应方程的两根为 1 3 2 32s ttbtc 0s t 则 2 1 3 6 3 9 1 3 3 b b cc 32 69s ttttd 1 13 4 2 s t 在 增 1 3 减 增 且又 1 1 4 4 4 4 4 2 max sdsds tdt 则 2 4 431 3 dddd 即或 13 解 当时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 40 x 100 2 5 40 要耗油 升 3 13 40408 2 517 5 12800080 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油 17 5 升 当速度为千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为x 100 x 升 h x 依题意得 33 22 80080 0120 640640 xx h xx xx 令 得 0h x 80 x 当时 是减函数 0 80 x 0 h xh x 当时 是增函数 80120 x 0 h xh x 当时 取到极小值