高中数学例析直线与平面垂直问题 直线和平面垂直的定义揭示了线线垂直与线面垂直相互转化的关系如果利用定义证明线面垂直，由于涉及平面内的一条直线具有任意性，加大了证明的难度，因此，定义主要是用来得到线线垂直，而线面垂直的判定定理则揭示了通过线线垂直可得到线面垂直由此可见线面垂直的定义与判定定理可以进行线面垂直与线线垂直的相互转化，这种线面问题与线线问题的互相转化是立体几何中的一种重要的思想方法，另外，线面垂直的性质定理在求距离时有独到的用法本文举例谈谈它们的应用例1、如图，以线段AB为直径作圆，C为圆上一点，D为圆所在平面外一点，且DA上平面ABC，AECD，垂足为E求证：AE平面BDC 分析：欲证AE平面BDC，需证明AE与平面BCD中两条相交直线都垂直(已知AECD，只证AEBC)，由已知易证BC平面DAC，从而问题得证 证明：由DA平面ABC，得BCDA由BCAC，得BC平面DAC，所以BCAE又DCAE，所以AE平面BCD 说明：本题是直线和平面垂直的基本练，在线面垂直与线线垂直的反复转化中，同学们要善于从立体直观图形中观察分解出直线和平面垂直的基本图形 例2、已知四边形ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于点E、F、G，如图，求证：AESB，AGSD 分析：欲证线线垂直AESB，联想通过线面垂直AE平面SBC，这需寻求AE垂直面SBC的两条相交直线可使结论得证。 证明：由SA平面ABCD，BC平面ABCD，得SABC 又BCAB，知BC平面SAB，而AE平面SAB，所以BCAE 因SC平面AEFG，AE平面AEFG，所以SCAE AE平面SBC，得AESB同理可证：AGSD 说明：本例首先通过线面垂直(SA面ABCD)，利用定义得到线线垂直(SABC)，再利用判定定理得到线面垂直(BC面SAB)，又利用定义得到线线垂直(BCAE)，同时从另一角度可推得SCAE利用定理得到线面垂直(AE面SBC)，再利用定义得到线线垂直(AESB)，体现了线线与线面垂直的循环转化 例3、如图，ABC为正三角形，EC平面ABC。BD/CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE=DA (2)平面BDM平面ECA(3)平面DEA平面ECA 分析：(1)证明DE=DA，需证明RtDFERtDBA (2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线 (3)需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线 证明：(1)取EC的中点F，连接DF由ECBC，易知DF/BC DFEC在RtDFE和RtDBA中，由EF=EC=BD，FD=BC=AB，知RtDFERtDBA故DE=DA (2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MNEC，所以MN/BD，即N点在平面BDM内。由EC平面ABC，得ECBN由CABN，知BN平面ECA因BN在平面MNBD内，所以平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA (3)由DM/BN，BN平面ECA，知DM平面ECA 由DM平面DEA，得平面DEA平面ECA 说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN平面ECA是关键从解题方法上看，由于线线垂直、线面垂直与面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直的转化途径进行 例4、已知空间四边形ABCD的边AC=BC，AD=BD，引BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD 分析：要证AH平面BCD，需证明AH垂直平面BCD内两条相交直线已知AHBE，只要证平面BCD内与BE相交的一条直线与AH垂直即可 证明：如图，取AB的中点F，连接CF、DF、AE 由AC=BC，知CFAB又AD=BD，所以DFAB，得AB平面CDF CD平面CDF，得CDAB又CDBE，得CD平面ABE，所以CDAH因AHBE，所以AH平面BCD 说明：本例证明是利用线面垂直的定义与判定定理，由一个垂直关系联想下一个垂直关系，这样一环紧扣一环，一系列的垂直关系便相继产生，达到线线垂直与线面垂直的相互转化这种垂直关系的转化便是证明的全过程 例5、如图，已知二面角为60，如果平面内一点P到平面的距离为，那么P在平面上的射影O到平面的距离为_。 分析：空间距离的求法是历年高考考查的重点，其中点与点，点与线，点与面的距离为其基础本题求解的关键是正确作出图形，其中确定垂足的位置最重要，尤其是求点到平面的距离经常要用两个平面垂直的性质 解：过O点在内作OGl于G，连接PG，则二面角的平面角PGO=60 因lOG，lPG，所以l平面POG l平面，所以平面平面POG，交线为PG根据两平面垂直的性质，作OHPG，则OH平面易得说明：本题使用二面角的性质：二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面，进而两个半平面均与它垂直，构成面面垂直的情形，再作出交线的垂线即为所求